Question

设等比数列an的前n项和为sn，已知an+1＝2sn+2（n∈N*）

在an与an+1之间插入n个数，使这个n+2个数组成公差为dn的等差数列，求数列1/dn的前n项和tn

Answer 1

an+1=2(Sn)+2
an=2(Sn-1)+2
两式相减，an+1-an=2an，an+1/an=q=3
令n=1，a2=2a1+2，a2=3a1，所以a1=2
an=2*3^(n-1)
an+1=3an
令b1=an，b2=b1+(n-1)d，则bn+2=b1+(n+1)d=an+(n+1)d=3an
所以d=2an/(n+1)，即dn=[4*3^(n-1)]/(n+1)
1/dn=(n+1)/[4*3^(n-1)]
Tn=2/(4*3^0)+3/(4*3^1)+4/(4*3^2)+...+(n+1)/[4*3^(n-1)]
3Tn=6/(4*3^0)+3/(4*3^0)+4/(4*3^1)+...+(n+1)/[4*3^(n-2)]
2Tn=6/(4*3^0)+{1/(4*3^0)+1/(4*3^1)+...+1/[4*3^(n-2)]}-(n+1)/[4*3^(n-1)]=3/2+(1/4)*(3/2)[1-3^(1-n)]-(n+1)/[4*3^(n-1)]=15/8-(2n+5)/[8*3^(n-1)]
Tn=15/16-(2n+5)/[16*3^(n-1)]