Question

设数列{an}的前n项和为sn,满足2sn=a(n+1)-2^(n+1)+1,n属于n*.且a1,a2+5,a3成等差数列。

1,求a1值。2，求{an}通项公式。3，证明对一切正整数n,有1/a1+1/a2+...+1/an<3/2。谢谢，要过程。

Answer 1

1)
2S1= a2-2*2+1=2a1
a2=2a1+3
2S2=a3-8+1=2(a1+a2)
a3= 2(a1+a2)+7
a3=2<a1+(2a1+3)>+7
a3=6a1+13
2(a2+5)=a1+a3
2(2a1+3+5)=a1+6a1+13
a1=1 a2=5 a3=18
2)
2sn=a(n+1)-2^(n+1)+1 为1式
2s(n+1)=a(n+2)-2^(n+2)+1 (n>=2,n(-n*) 为2式
用2式减去1式
2a(n+1)=a(n+2)-a(n+1)-2^(n+1)
a(n+2)-3a(n+1)=2^(n+1)
a(n+2)+2^(n+2)=3a(n+1)+2^(n+1)+2^(n+2)
a(n+2)+2^(n+2)=3<a(n+1)+2^(n+1)>
<a(n+2)+2^(n+2)>/<a(n+1)+2^(n+1)>=3
所以a(n+1)+2^(n+1)为公比为3首项为a2+4=9
的等比数列
an+2^n=9*3^(n-2)=3^n n>=2
an=3^n-2^n
当N=1时 满足题意
所以an=3^n-2^n (n(-n*)

3)
令K=1/1+1/5+1/18.......1/an
因为3^n-2^n>n*(n+1)成立(N>=2)
所以1/(3^n-2^n)<n*(n+1).
K<1+1/2*3+1/3*4+.........1/n*(n+1)
K<1+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)
.....1/n-1/(n+1)
K<3/2
所以1/a1+1/a2+...+1/an<3/2

Answer 2

解：（1）在2Sn=a<n+1>-2^(n+1)+1中，

令n=1得：2S1=a2-2�0�5+1，

令n=2得：2S2=a3-2�0�6+1，

解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13

又2（a2+5）=a1+a3

解得a1=1

（2）由2Sn=a<n+1>-2^(n+1)+1，

2S<n+1>=a<n+2>-2^(n+2)+1得a<n+2>=3a<n+1>+2^(n+1)，

又a1=1，a2=5 也满足a2=3a1+2，

所以a<n+1>=3an+2n对n∈N*成立

∴an+1+2^(n+1)=3（an+2^n），又a1=1，a1+2=3，

∴an+2^n=3^n，

∴an=3^n-2^n；

（3）
∵an=3^n-2^n=（3-2）[3^(n-1)+3^(n-2)×2+3^(n-3)×2�0�5+…+2^(n-1）≥3^(n-1)

∴1/an ≤1/[3^(n-1)] ，

∴1/a1 +1/a2 +1/a3 +…+1/an ≤1+1/3 +1/3�0�5 +…+1/[3^(n-1)]=1×[1-(1/3)^n]/(1-1/3)＜3/2

希望能帮到你，祝学习进步

Answer 3

a1=1，an=3的n次方-2的n次方.用手机上的，不方便，明天给你准确过程行吗？