Question

极限的意义是什么？

Answer 1

lim{x->∞)sin√(x+1)-sin√x=lim{x->∞)2cos(√(x+1)+√x)/2*sin(√(x+1)-√x)/2=lim{x->∞)2cos(√(x+1)+√x)/2*sin[1/2(√(x+1)+√x)]=0

“极限”是数学中的分支微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

产生：

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用。

古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

以上内容参考：百度百科-极限

Answer 2

极限是微积分中的一个重要概念，它在数学和科学中有着广泛的应用和重要的意义。

首先，极限可以用来描述函数在某一点的趋势。例如，当我们研究一个函数在某一点的极限时，我们可以了解这个函数在这个点附近的行为。如果这个函数在这个点的极限不存在或为无穷大或无穷小，那么我们就可以推断出这个函数在这个点附近的行为可能是不稳定的、无限大或无限小的。

其次，极限可以用来研究函数的连续性。如果一个函数在某一点的极限存在，那么这个函数在这个点处是连续的。连续性是微积分中的一个重要概念，它可以帮助我们研究函数的性质和行为，例如导数、积分和微分方程等。

此外，极限还可以用来证明一些重要的数学定理和结论，例如极限存在定理、夹逼定理、泰勒定理等。这些定理和结论在数学和科学中具有广泛的应用和重要的意义。

综上所述，极限是微积分中一个非常重要的概念，它可以帮助我们研究函数的性质和行为，以及证明一些重要的数学定理和结论。