Question

Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．如果CA=CB，求证

已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．
（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；
（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/644789ea-6dec-4ec4-83f9-365855614a88

Answer 1

（1）证明：延长FD取点G，使DG＝DF
∵D为AB的中点
∴AD＝BD
∵DE＝DF，∠ADG＝∠BDF
∴△ADG全等于△BDF （SAS）
∴AG＝BF，∠GAD＝∠B
∵∠ACB＝90
∴∠CAB+∠B＝90
∴∠CAB+∠GAD＝90
∴∠CAG＝90
∴AE²+AG²=EG²
∴AE²+BF²=EG²
∵DE⊥DF，DF＝DG
∴DE垂直平分FG
∴EF＝EG
∴AE²+BF²=EF²
（2）成立，证法同（1）。