Question

已知f(x)为定义在【-π/2,π/2】上的偶函数,当x∈【0,π/2】时,f(x)=2cosx-3sinx

设a=f（cos1），b=f（cos2），c=f（cos3），则a，b，c的大小关系为？求详细过程

Answer 1

首先通过代值法验证函数在0-π/2的单调性，得知在该区间是减函数，又因为函数为偶函数，则在-π/2-0区间内即为增函数。然后观察所考察的三个函数值的自变量在哪个区间，通过自变量的大小关系与单调性判断，如余弦函数cos在0-π是减函数，所以cos1>cos2>cos3,但由于f(x)不是奇函数，所以y轴两侧不同单调性，故需要考察cos1与cos2及cos3各在哪个区间。其中cos3和cos2的值都大于-1小于0，所以都在
【-π/2，0】区间内，所以有增函数特征，及自变量大函数值大，所以f(cos3)<f(cos2)注意由于cos3和cos2都是负数，所以cos3小于cos2。再由于cos函数的函数值关于x轴的对称关系，cos2的绝对值约等于cos1.14，所以这两个自变量的函数值应该相等，而cos1.14和cos1在0-π/2区间（π/2约等于1.57），有减函数特征，即cos1>cos1.14=cos2，所以综上，f(cos1)>f(cos2)>f(cos3)，即a>b>c

追问

可素答案上写的是c<a<b额

Answer 2

结论 c<a<b

f(x)为定义在【-π/2,π/2】上的偶函数，
a=f（cos1）
b=f（cos2）=f(-cos(π-2))=f(cos(π-2))
c=f(-cos(π-3))=f(cos(π-3))
由 1，(π-2)，(π-3)都是锐角，且(π-3)<1<(π-2)
得 π/2>cos(π-3)>cos1>cos(π-2)>0

f'(x)=-2sinx-3cosx
当x∈【0,π/2】时,f'(x)<0, f(x)在其上单调递减。
f(cos(π-3))<f(cos1)<f(cos(π-2))

即c<a<b

希望对你有点帮助！

追问

(π-3)<1<(π-2)，这素肿么判断的

追答

π-3=0.141...
π-2=1.141...

Answer 3

当x∈[0,π/2] 时，
2cosx,单调减
(-3sinx)单调减；
所以f(x)单调减； ①
f(cos2)=f(-cos2)=f[cos(π-2)]
f(cos3)=f(-cos3)=f[cos(π-3)]
0<π-3<1<π-2<π/2,y=cosx在[0,π/2]上是减函数，所以
1>cos(π-3)>cos1>cos(π-2)>0
π/2>1>cos(π-3)>cos1>cos(π-2)>0
由①知，f(x)在[0,π/2] 上是减函数，所以
f(cos(π-3))<f(cos1)<f(cos(π-2))
即
c<a<b

追问

额、、π-3<1<π-2这个怎么判断

追答

π-3π-31?

π>3=2+1==>π-2>1