Question

试讨论函数f(x)=x/(x^2+1)的单调性

Answer 1

定义域为R
假设x1＞x2
则，f(x1)-f(x2)=[x1/(x1^2+1)]-[x2/(x2^2+1)]
=[x1*(x2^2+1)-x2*(x1^2+1)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=[(x1*x2^2-x2*x1^2)+(x1-x2)]/[(x1^2+1)(x2^1+1)]
=[-x1x2*(x1-x2)+(x1-x2)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=[(x1-x2)*(1-x1x2)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
上式中，x1-x2＞0，(x1^2+1)(x2^2+1)＞0
所以取决于1-x1x2的符号
①当x1＞x2＞1，或者x2＜x1＜-1时，1-x1x2＜0，f(x1)＜f(x2)，f(x)递减；
②当-1＜x2＜x1＜1时，1-x1x2＞0，f(x1)＞f(x2)，f(x)递增。
即，在x＜-1，或者x＞1时，f(x)单调递减；在[-1,1]时，f(x)单调递增。

Answer 2

f‘（X)=f'(x)={f'(x1)f(x2)-f(x1)f'(x2)}/{f(x2)}² =（x²+1-2x²）/（x²+1）²=（-x²+1）/（x²+1）²

分母（x²+1）² ＞0 -x²+1在x∈（-1,1） ＞0 在x∈（-∞，-1）∪（1，+∞） ＜0
f'（x）在x∈（-1,1） ＞0 在x∈（-∞，-1）∪（1，+∞） ＜0
f(x)在x∈（-1,1） 单调递增 在x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）单调递减

Answer 3

显然x^2+1≠0
当x=0，f(x）=0，一个点一般不讨论单调性的意义。
当x≠0，f（x）=1/（x+1/x）
由双勾函数的性质知：x∈（-无穷，-1】，【1，﹢无穷）递减
x∈【-1,0），（0，1】递增
又当x=0，f(x）=0，一个点一般不讨论单调性的意义。
所以x∈【-1,1】递增

Answer 4

f(x)=x/(x^2+1)
f'(x)=[1*(x^2+1)-x*2x]/(x^2+1)^2
=(1-x^2)/(x^2+1)^2
当1-x^2≥0时，f'(x)≥0
∴f(x)在[-1,1]上单调递增
当1-x^2≤0时，f'(x)≤0
∴f(x)在(-∞,-1]∪[1,+∞)上单调递增

Answer 5

这种题目我们常常讨论一下，然后变形。
当x=0时，f(0)=0.
当x>0时，分子分母同除以x，得到f(x)=1/{x+(1/x)}.
对于g(x)=x+(1/x)来说，当且仅当x=1时，g(x) 出现最小值2。所以在区间（0， 1）上g(x)是减函数；在区间x>1上g(x)是增函数。（其实g(x)是对称轴从x轴逆时针旋转了70多度的双曲线）。
于是，函数f(x),就有最大值1/2，增减性就好说了。
对于x<0时的情况，可以借助上面的方法来回答。
你看如何？