Question

1）设a,b,x,y∈R,且a²+b²=1,x²+y²=1，求证：|ax+by|≤1

2）已知a，b是不等正数，且a³-b³=a²-b²,求证：1＜a+b＜¾
【请问，这类题型有固定的解题思路么？麻烦解释一下。另外过程尽量详细O(∩_∩)O谢谢】

Answer 1

解法一a^2+b^2=(SinA)^2+(CosA)^2=1
x^2+y^2=(SinB)^2+(CosB)^2=1
|ax+by|=|SinASinB+CosACosB|=|Cos(A-B)|≤1
解法二 柯西不等式 （ax+by)^2≤(a^2+b^2)(x^2+y^2)=1 第二题a3-b3=a2-b2
(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b)
因为a不等于b
所以
a2+ab+b2=a+b
(a+b)2-(a+b)=ab<(1/4)*(a+b)2 (因a、b不等，不能等于）
令t=a+b，化简得
3t2-4t<0
解不等式得
0<t<3/4

因为a^2+ab+b^2＝a+b，化简后（a+b)(a+b-1)=ab,a+b-1=ab/(a+b)>0,所以a＋b>1

综上所述1<a+b<4/3

追问

(a+b)2-(a+b)=ab<(1/4)*(a+b)2这一步不懂？？

追答

即用到4ab<(a+b)^2

Answer 2

一楼正解
不过结尾写错了

【 综上所述1<a+b<4/3 】