Question

高二数学导数一题：已知函数f（x）=x^3+ax^2-x+2

（1）若f（x）在（0，1）上是减函数，求a的最大值；（2）若f（x）的单调递减区间是（-1/3，1），求函数y=f（x）的图象过点（1，1）的切线与两坐标轴围成的图形的面积。 第二问好像分了好多种情况……

Answer 1

解:(1)f'(x)=3x^2+2ax-1若在(0,1)上是减函数,则f'(0)=-1<0, f'(1)=2a+2≤0,所以a≤-1 (2)若f(x)的单调递减区间是(-1/3,1),则有f'(-1/3)=0,即1/3-2a/3-1=0,所以a=-1所以f(x)=x^3-x^2-x+2 ,f'(x)=3x^2-2x-1若切点为P(x0, y0)则f'(x0)=3x0^2-2x0-1切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)即y=(3x0^2-2x0-1)x-(2x0^3-x0^2-2)因为切线过(1,1),所以有1=3x0^2-2x0-1-2x0^3+x0^2+2整理得2x0(x0-1)^2=0所以xo1=0或x02=1当x01=0时f'(x0)=-1切线为y=-x+2,与x交于(2,0),与y交于(0,2),所以S=2*2/2=2当x02=1时,f'(x0）＝０，与x无交点，舍去

Answer 2

f'(x)=3*x^2+2*a*x-1,f'(0)<=0且f'(1)<=0,解得：a<=-1,故a最大值为-1；
（2）f'(-1/3)<=0且f'(1)<=0,解得：a=-1；此时可知（1,1）在y=f(x)图像上，故过点（1,1）的切线方程为：
y-1=f'(1)(x-1)，y=1与题意不符；当（1,1）不是切点时，设切点为(x0,y0),则过点(x0,y0)的切线方程为
y-y0=f'(x0)(x-x0),即y-x[0]^3+x[0]^2+x[0]-2 = (3*x[0]^2-2*x[0]-1)*(x-x[0]),将（1,1）代入后可得
-1-x[0]^3+x[0]^2+x[0] = (3*x[0]^2-2*x[0]-1)*(1-x[0])，解得：[[x[0] = 0], [x[0] = 1], [x[0] = 1]]
故x[0] = 0，此时切线方程为：y-2 = -x，与坐标轴交点为（0, 2）, （2, 0），S=
=1/2*2*2=2