Question

已知函数f(x)=x^2-4x+a+3,g(x)=x-2m

(1）求f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)在[-1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（3）当a=0时，若对任意的x1∈[1,3],总存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2)成立，求实数m的取值范围。

Answer 1

【我的解答过程】
(1）f(x)是二次函数，它的对称轴：x=2
当x<2时，函数f(x)为减函数；
当x>2时，函数f(x)为增函数。
（数形结合，判断函数的单调性，写出函数的单调区间。）
（也可以用导数法判断函数的单调性，然后写出函数的单调区间。）

（2）由（1）得，函数在[-1,1)上是减函数，
函数f(x)的最大值为f(-1)，f(x)的最小值为f(1)。
函数在[-1,1)上存在零点，则f(-1)f(1)<0
(8+a)a<0
所以实数a的取值范围是：-8<a<0。

（3)a=0,f(x)=x^2-4x+3,x1属于[1,3]，
f(x)的最大值f(1)=f(3)=0，最小值f(2)=-1
x2属于[1,4]，使f(x1)=g(x2)成立
则g(x)的值域包含[－1，0]
g(x)在[1，4]上是增函数
g(1)<=-1,g(4)>=0
1－2m<=-1,4-2m>=0
1<=m<=2