Question

20悬赏，求几个很难的数列题，奥数也行，高中范围的…

Answer 1

这里有我收集的一些源自高考、模拟的数列题：
http://tieba.baidu.com/p/1121810316
http://tieba.baidu.com/p/1042525726
http://tieba.baidu.com/p/988275849

再补充几道

2009年-高考数学-江西卷理-22-数列

各项均为正数的数列{an}，a1=a，a2=b，且对于满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q，都有

(am+an)/((1+am)*(1+an))=(ap+aq)/((1+ap)*(1+aq))

(1)当a=1/2，b=4/5时，求通项an；

(2)证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有1/λ<=an<=λ.

2007年-高考数学-广东卷理-21-数列

已知函数f(x)=x^2+x-1，α、β是方程f(x)=0的两个根（α>β），f'(x)是f(x)的导数，设a1=1，a(n+1)=an-(f(an)/f'(an))（n=1,2,…）.

(1)求α,β的值；

(2)证明：对任意的正整数n，都有an>α；

(3)记bn=ln((an-β)/(an-α))（n=1,2,…）.求数列{bn}的前n项和Sn.

2010年-高考数学-全国Ⅰ卷理-22-数列

已知数列{an}中，a1=1，a(n+1)=c-1/an

(1)设c=5/2，bn=1/(an-2)，求数列{bn}的通项公式；

(2)求使不等式an<a(n+1)<3成立的c的取值范围.

2006年-高考数学-江西卷理-22-数列

已知数列{an}满足：a1=3/2，且an=(3*n*a(n-1))/(2*a(n-1)+n-1)（n>=2，n∈N*）.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)证明：对于一切正整数n，不等式a1*a2*…*an<2*n!恒成立.

2011年-高考数学-广东卷理-20-数列

设b>0，数列{an}满足a1=b，an=(n*b*a(n-1))/(a(n-1)+2n-2)（n>=2）.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)证明：对于一切正整数n，an<=(b^(n+1))/(2^(n+1))+1.

2011年-高考数学-江苏卷-20-数列

设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1=1，前n项的和为Sn.
已知对任意的整数k∈M，当整数n>k时，S(n+k)+S(n-k)=2*(Sn+Sk)都成立.

(1)设M={1}，a2=2，求a5的值；

(2)设M={3,4}，求数列{an}的通项公式.

2006年-高考数学-天津卷理-21-数列（改）

已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且

x(n+1)/xn=λ*(xn/x(n-1))，y(n+1)/yn>=λ*(yn/y(n-1))
（λ为非零参数，n=2,3,4,…）

(1)若x1,x3,x5成等比数列，求参数λ的值；

(2)当λ>0时，证明：x(n+1)/y(n+1)<=xn/yn（n∈N*）；

(3)当λ>1时，证明：
(x1-y1)/(x2-y2)+(x2-y2)/(x3-y3)+…+(xn-yn)/(x(n+1)-y(n+1))<λ/(λ-1)（n∈N*）；

(4)当0<1<λ时，证明：对于k>=3，
x(k+1)/x1+x(k+2)/x2+…+x(k+n)/xn<(λ^k)/(1-λ^k)（n∈N*）.

2006年-高考数学-江苏卷-21-数列

设数列{an},{bn},{cn}满足
bn=an-a(n+2)，n=1,2,…,
cn=an+2*a(n+1)+3*a(n+2)，n=1,2,…,

证明：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列，且bn<=b(n+1)（n=1,2,…）.

2005年-高考数学-江苏卷-23-数列

设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，a2=6，a3=11，且
(5n-8)*S(n+1)-(5n+2)*Sn=A*n+B，n=1,2,…
其中A,B为常数.

(1)求A与B的值；

(2)证明：{an}为等差数列；

(3)证明：对任意正整数m,n，
(5*a(mn))^0.5-(am*an)^0.5>1

2008年-高考数学-重庆卷理-22-数列

设各项均为正数的数列{an}满足a1=2，an=a(n+1)^(3/2)*a(n+2)（n∈N*）.

(Ⅰ)若a2=1/4，求a3,a4，并猜想a2008的值（不需证明）；

(Ⅱ)记bn=a1*a2*…*an（n∈N*），若bn>=2*根号2对n>=2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.

2010年-高考数学-天津卷理-22-数列

在数列{an}中，a1=0，且对任意k∈N*，a(2k-1),a(2k),a(2k+1)成等差数列，其公差为dk.

(Ⅰ)若dk=2k，证明a(2k),a(2k+1),a(2k+2)成等比数列(k∈N*)；

(Ⅱ)若对任意k∈N*，a(2k),a(2k+1),a(2k+2)成等比数列，其公比为qk.

(i)设q1不等于1，证明{1/(qk-1)}是等差数列；
(ii)若a2=2，证明3/2<2n-∑(k=2——n)(k^2/ak)<=2 (n>=2).

1993年-中国国家集训队测验题-数列（改）

设a1=a2=1/3，

当且仅当n=3，4，5……时，

an=((1-2*a(n-2))*a(n-1)^2)/(2*a(n-1)^2-4*a(n-2)*a(n-1)^2+a(n-2))，

求数列{an}通项公式，并证明1/an-2为完全平方数.

2005年-全国高中数学联赛-辽宁省预赛-数列

已知a1=1，a2=3，an=4*a(n-1)-a(n-2)（n>=3）；

b1=1，b2=3，bn=(b(n-1)^2+2)/b(n-2)（n>=3）；

c1=1，c(n+1)=2*cn+(3*cn^2-2)^0.5（n>=3）.

求证：对于一切正整数n，有an=bn=cn.