Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，点E，F分别为AB、PD的中点

（1）求证：AF∥平面PCE
（2）EF与平面PCD所成的角的余弦值

Answer 1

（1）求证：AF∥平面PCE
证明：作PC的中点G
连接FG、EG
则FG=1/2CD
FG∥CD
∵E是AB的中点
∴AE=1/2AB

∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD
AB=CD
∴FG=AE
FG∥AE
∴四边形AEGF是平行四边形
∴AF∥EG
AF=EG
∵EG属于面PCE
∴AF∥面PCE

（2）EF与平面PCD所成的角的余弦值
解：连接EF
∵PA⊥底面ABCD
∴平行四边形AEGF是矩形
∵PA=AD，F是PD中点
∴AF⊥PD，EG⊥PC
∴面AEGF⊥面PCD
∴∠EFG就是EF与平面PCD所成的角
∵EG=AF=√2AD/2，AE=FG=1/2CD=1/2AD
∴EF=√3AD/2
∴FG/EF=√3/3
即EF与平面PCD所成的角的余弦值是√3/3