Question

在RT△ABC中 AB=AC ∠BAC=90° D是BC上任意一点 求证BD²+CD²=2AD²

Answer 1

证 明：作AE⊥BC于E，如上图所示：
由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE= 12BC，
由勾股定理可得：
AB2+AC2=BC2，
AE2=AB2-BE2=AC2-CE2，
AD2=AE2+ED2，
∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2-BE2+（BD-BE）2+AC2-CE2+（CE-CD）2
=AB2+AC2+BD2+CD2-2BD×BE-2CD×CE
=AB2+AC2+BD2+CD2-2× 12BC×BC
=BD2+CD2，
即：BD2+CD2=2AD2．

Answer 2

当D在左边时，作AH垂直BC,BH=CH=AH
BD=CH-DH=AH-DH,CD=CH+DH=AH+DH，代入BD^2+CD^2=2AH^2+2DH^2=2AD^2
同理可证其它情况

Answer 3

过点A作AE⊥BC与于E
BD²=（BE-DE）²
=BE²-2BE·DE+DE²
=CE²+DE²-2BE·DE
CD²=（CE+DE）²
=CE²+2CE·DE+DE²
BD²+CD²=2CE²+2DE²
=2（CE²+DE²）
=2（AE²+DE²）
=2AD²