Question

定义在区间（-1,1）上的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1)，求f(x)的解析式

为什么由2f(x)-f(-x)=lg(x+1)可以得到2f(-x)-f(x)=lg(-x+1)？

Answer 1

想法消掉f(-x)即可。

因为2f(x) - f(-x) = lg(x+1)，---(1)
x定义在(-1,1)上，所以以-x代x也成立，
即2f(-x) - f(x) = lg(1-x) ---(2)
(2)式左右两边加上(1)式左右两边乘以2，可消去f(-x)，得到：
3f(x) = 2*lg(1+x) + lg(1-x)
也就是
f(x) = 1/3 * (2*lg(1+x) + lg(1-x))
这就是所求。

验算的话，
2f(x) - f(-x)
=4/3 * lg(1+x) + 2/3 * lg(1-x) - 2/3 * lg(1-x) - 1/3 * lg(1+x)
= lg(1+x)
所以刚才解出来的f(x)是对的 ：）

追问

还是不懂为什么-x可以代替x？

追答

因为在同一个函数中我们可以用定义域内的任何的值去换其中的X，则也可以用-X去换其中的X