Question

已知双曲线x2-m已知双曲线x2-my2=1(m>0)的右顶点

1.已知双曲线x2-m已知双曲线x2-my2=1(m>0)的右顶点为A，而B，C是双曲线右支上两点，若△ABC为正三角形，则m的取值范围是（详细过程）
2.双曲线X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0b>0)的左右焦点分别为F1F2点P在双曲线的右支上|PF1|=4|PF2|,则离心率的范围是
3.

Answer 1

1

解：由双曲线的方程知A（1，0），
根据双曲线的对称性，若三角形ABC为等边三角形，则BC垂直于x轴，∴AB的倾斜角为30°
设直线AB方程为y=√￣3/3（x-1），代入双曲线方程，化简，得，
（m-3）x2-2mx+m+3=0
∵满足条件的点B，存在，
∴方程（m-3）x2-2mx+m+3=0有两解，一个等于1，一个属于（1，+∞）．
∴

m-3≠0
△=(2m)2-4(m-3)(m+3)＞0
-（-2m）/2(m-3)
＞1

，
解得，m＞3
∴m的范围是（3，+∞）
故答案为（3，+∞）

2
设P（x，y），由焦半径得丨PF1丨=ex+a，丨PF2丨=ex-a，
∴ex+a=4（ex-a），化简得e=5a/3x
，
∵p在双曲线的右支上，
∴x≥a，
∴e≤5/3