Question

为什么f(x)在xo的某一去心领域内有界是limf(x),x→xo,存在的必要条件

比如f(x)=1/x,在x=1的去心领域内，(0，1)∪(1，2)，x→1的极限为1，但是这个去心领域内，f(x)无界
不用证充分，只用回答必要

Answer 1

考虑f(x)在某点处左右极限不相等的情况！

去心邻域内有界只是函数极限存在的必要条件。

反例：f(x)＝|x|/x，x→0。

在x＝0的去心邻域内，f(x)＝1或-1有界，但是x→0时没有极限，因为左极限是-1，右极限是1，不相等。

可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

Answer 2

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 3

f（x）在x0的某一去心邻域内有界是limf（x）存在的必要条件，而不是充要条件”考虑f（x）在某点处左右极限不相等的情况！必要性：由极限定义：∵lim（x→x0）f（x）＝∞∴对于任意的M＆gt；0，存在δ＆gt；0，st．0＆lt；｜x－x0｜＆lt；δ，有：｜f（x）｜＆gt；M∴f（x）在去心领域U（x0，δ）内无界即：f（x）在X0的某一去心邻域内无界是在该点极限无穷的必要条件充分性：证明不充分只要找出反例即可有f（x）＝1＆＃47；x在去心领域U（1a1）即（040621）∪（12）上无界，但lim（x→1）f（x）＝f（1）＝1≠∞即不充分