Question

设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)＞0

F(x)=∫(上限为x,下限为a)f(t)dt＋∫(上限为x,下限为b)1/f(t)dt,x∈[a,b].证明:方程F(x)=0在区间[a,b]有且仅有一个根.

Answer 1

对F(X)求导得f（x）+1/f(x)，因f(x)在[a,b]上连续，且f(x)＞0即F(X)在[a,b]上单调递增，又F(a)＜0，F(b)＞0，由介值定理得F(x)=0
在[a,b]上有且仅有一个根。希望对你有帮助。

追问

为什么F(a)<0,F(b)＞0

追答

把a的值带入F(x)，这个∫(上限为x,下限为a)f(t)dt 因为上下限相等为零，∫(上限为x,下限为b)1/f(t)dt而这个求导得1/f(t)＞0递增，而a<b，所以它小于零，即F(a)<0

同理得,F(b)＞0

Answer 2

构造函数f(x)＝f(x)×e^(g(x))，则f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，由罗尔中值定理，存在一个ξ∈(a,b)，使f'(ξ)＝0，此即f'(ξ)+f(ξ)g'(ξ)＝0.