Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E，F分别在AC和BC上，且DE⊥DF，求证以AE，EF，BF为边的△是Rt△

Answer 1

证明：延长FD，使DM=DF，连接AM ,EM
因为点D是AB的中点
所以AD=BD
因为角ADM=角BDF
所以三角形ADM和三角形BDF全等（SAS)
所以AM=BF
角DAM=角B
所以AM平行BC
所以角EAM+角C=180度
因为角C=90度
所以角EAM=90度
由勾股定理得：
EM^2=AE^2+AM^2
所以EM^2=AE^2+BF^2
因为DE垂直DF
所以角EDF=角EDM=90度
因为DE=DE
DM=DF
所以三角形EDM和三角形EDF全等（SAS)
所以EF=EM
所以EF^2=AE^2+BF^2
所以以AE ,EF . BF为边的三角形是直角三角形

Answer 2

因为EF=1/2AB，AE=1/2AC，BF=1/2BC （运用中位线的知识分析）

因为 AB^2=AC^2+BC^2;
所以 EF^2=AE^2+BF^2;
所以 以EF，AE，BF 为边可以构成直角三角形

Answer 3

所以AE^2+BF^2=EF^2
三边的长可构成直角三角形