Question

设函数f（x）=x^2+2bx+c(c<b<1),f(1)=0,且方程f（x）+1=0有实根。

(1)证明：-3<c<=-1,且b>=0.(2)证明：若m是方程f（x）+1=0的一个实根，判断f（m-4）的正负并加以证明。 请回答详细解答。。谢谢!

Answer 1

1)。由题意知:函数f(x)=0实根1。则有4b^2-4ac>=0。 而y=f(x)+1=0有实根,则有4b^2-4c-4>=0,即b^2-c>=1则b^2-c-1>=0。故b^2-c>0。 则有(x-1)(x+n)=0则有x^2+(n-1)x-n =0。即c=-n。2b=n-1。则有b=(n-1)/2。而1>b>c。则1>(n-1)/2>c。 即1>(n-1)/2>-n。则3>n>1/3。。 而因为b^2-c-1>=0得(n-1)^2+n-1>=0,则有n(n-1)>=0得到n=<0或者n>=1。 综上可得:3>n>=1。而c=-n,故-3<c=<-1。而b=(n-1)/2,故0=<b<1。得到-3<c=<-1,且b>=0。
(2).因为m为y=f(x)+1的一个零点,则有x^2+2bx+c+1=0有实根为m。设根为x1=m,x2。 则有m+x2=-2b。mx2=c+1。x2=-2b-m。则有 即m^2+2bm+c+1=0。 函数f(x)=x^2+2bx+c的对称轴为x=-b。且函数f(x)开口向上。故当x=-b时,函数f(x)最小,为c-b^2<0。 而设函数f(x)=0的2个根为x1=1,x2。则有x1+x2=-2b即x2=-2b-1,则-3<x2=<-1。而x1*x2=c。得x2=c,则故函数f(x)在x属于区间(负无穷,x2),(x1,正无穷)上大于0。而x2>-3,x1=1。故f(x)在x属于区间(负无穷,-3),(1,正无穷)上,一定大于0。 则根据函数图像知:y=f(x)+1是将函数f(x)沿着y轴向上平移1。则可得y=f(x)+1跟x轴的2个交点。x1‘=m,x2’=n。有2个函数图像知:-3<x1‘<1。 -3<x2’<1。 即-3<m<1。则-7<m-4<-3。故x=m-4属于区间(负无穷,-3)。而f(x)在x属于区间(负无穷,-3)上,一定大于0。所以f(m-4)>0。 第二道小题,你要画出来函数图像就好解了,如果用算术式去计算的话,实在是太麻烦,用求根公式去确定m的范围即可。即4b^2-4c>b^2-4c-4>=0得到(4b^2-4c)^0.5>(b^2-4c-4)^0.5>=0分别用求根公式里的根将f(x)=0跟f(x)+1=0的根写出来,用上面那个式子把m的范围确定下来,也可以但是没有画图来的直接。 而且函数f(x)的图根据题上的函数知道是开口向上而由题(1)知b^2-c>0。故f(x)跟x轴有2个交点,画出来示意图,再将此图上移即可得到f(x)+1的图像。然后可以看到f(x)+1跟x轴的交点必然在f(x)跟x轴的2个交点之间。这样将此交点的范围就可以确定,根据上面的区间判断就可以得出结论。

Answer 2

解：（1）f(1)=1+2b+c=0
2b=-1-c
x�0�5+2bx+c+1=0有实根
4b�0�5-4c-4≥0
(c+1)�0�5-4(c+1)≥0
(c+1)(c-3)≥0
c<1
所以c≤-1
b=(-c-1)/2<1
所以-c-1<2
c>-3
所以-3<c≤-1c≤-1,-c-1≥0
所以b=(-c-1)/2≥0 （2）m是一个根
m�0�5+2bm+c+1=0
对f(m-4)整理，利用m�0�5+2bm+c+1=0
f(m-4)=-8m-8b+15
m+b=[-2b±√(4b�0�5-4c)]/2+b
=±√(c+1)(c-3)/2
=±√[(c-1)�0�5-4]/2
-3<c≤-1
所以0≤(c-1)�0�5-4<12
所以-√3<=±√[(c-1)�0�5-4]≤√3
所以-8√3<=-8(b+m)≤8√3
所以f(m-4)=-8(m+b)+15≥15-8√3>0