Question

已知f(x)是定义在R上的函数,对任意X属于R都有f(x+4)=f(X)+2f(2) ,若函数f(x-1)的图像关于X=1对称

且f(1)=2,求f(2011)=?

Answer 1

解：
f(x-1)的图像关于X=1对称
那么f(x)的图像关于X=2对称
f(x+4)=f(x)+2f(2)
令x=0
f(4)=f(0)+2f(2)
又∵f(x)的图像关于X=2对称
∴f(4)=f(0)
∴2f(2)=0
∴f(2)=0
∴f(x+4)=f(x)
f(2011)=f(2007+4)=f(2007)=f(2003)=...=f(3)
=f(2*2-3)
=f(1)=2
∴f(2011)=2

如仍有疑惑，欢迎追问。
祝：学习进步！

追问

谢谢 ，我就是第一步不懂为什么“f(x-1)的图像关于X=1对称
那么f(x)的图像关于X=2对称” 其他的都可以明白

追答

f(x-1)就相当于f(x)向左平移了一个单位，所以你移回去好啦~

Answer 2

f(1)=2
因为f(X-1)关于x=1对称，所以f(x)关于x=0对称，所以f(2)=f(-2),将x=-2代入原式，f(x+4)=f(x),所以f(2011)=f(1)=2

追问

可为什么有人说是关于x=2对称？

追答

你可以带个函数试试吗，比如说f(x)=x^2,是关于x=0对称的吧，那么f(x-1)=(x-1)^2就是关于x=1对称，相当于向右平移了一个单位嘛，左加右减