Question

在平面直角坐标系xoy中，直线L与抛物线y平方=2x相交于A,B两点

在平面直角坐标系xoy中，直线L与抛物线y平方=2x相交于A,B两点
1）求证：如果直线L过点T（3，0）那么OA向量乘以OB向量=3是真命题
2）写出(1)中命题的逆命题，判断命题是真命题还是假命题，并说明理由

Answer 1

1)直线L过(3,0),设直线为x=ky+3代入抛物线得 y�0�5=2(ky+3), 则y�0�5-2ky-6=0∴y1+y2=2k,y1y2=-6OA*OB=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=(y1�0�5/2)(y2�0�5/2)+y1y2=(y1y2)�0�5/4+y1y2=(-6)�0�5/4-6=9-6=3∴原命题是真命题2)逆命题:若OA向量乘以OB向量=3那么L过点T(3,0)证明:假设直线L:x=ky+b代入抛物线得 y�0�5=2(ky+b), 则y�0�5-2ky-2b=0∴y1+y2=2k,y1y2=-2bOA*OB=(x1,y1)(x2,y2)=(y1y2)�0�5/4+y1y2=(-2b)�0�5/4-2b=b�0�5-2b=3∴b�0�5-2b-3=(b-3)(b+1)=0, b=3或-1b=3时,L:y=ky+3过定点(3,0)命题为真;b=-1时,L:x=ky-1过定点(-1,0)命题为假∴原命题的逆命题是假命题