Question

已知函数f(x)=x+1/x,x∈[-2,-1)； -2,x∈[-1,1/2) ；x-1/x,x∈[1/2,2]

1，求f(x)的值域

2，设函数g(x)=ax-2，x∈[-2,2]若对于任意x1∈[-2,2],总存在x0∈[-2,2]使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值

Answer 1

解1：
1、当x∈[-2，-1)时，f(x)=x+1/x
f‘(x)=1-1/x²
令：f‘(x)＞0，即：1-1/x²＞0
x²＞1
解得：x＞1或x＜-1
考虑到定义域x∈[-2，-1)，此时f(x)是单调增函数
最大值是：lim【x→-1】f(x)=0；最小值是：f(-2)=(-2)+1/(-2)=-5/2
2、当x∈[-1，1/2)时，f(x)=-2
3、当x∈[1/2，2]时，f(x)=x-1/x
f'(x)=1+1/x²
令：f‘(x)＞0，即：1+1/x²＞0
1/x²＞-1，恒成立
此时，f(x)为单调增函数。
最大值是：f(2)=2-1/2=3/2；最小值是：f(1/2)=1/2-1/(1/2)=-3/2
综合以上三种情形，得：
f(x)的最大值是3/2
f(x)的最小值是-5/2
因此，所求值域是：f(x)∈[3/2，-5/2]。

解2：
因为：g(x)=ax-2，所以：g(x0)=a(x0)-2
1、当x1∈[-2，-1)时，f(x1)=(x1)+1/(x1)
因为：g(x0)=f(x1)
所以：a(x0)-2=(x1)+1/(x1)
a=[(x1)+1/(x1)+2]/(x0)
a=[(x1)²+2(x1)+1]/[(x1)(x0)]
a=(x1+1)²/[(x1)(x0)]
2、当x1∈[-1，1/2)时，f(x1)=-2
所以：a(x0)-2=-2
a=4/(x0)
3、当x1∈[1/2，2]时，f(x1)=(x1)-1/(x1)
所以：a(x0)-2=(x1)-1/(x1)
a=[(x1)-1/(x1)+2]/(x0)
a=[(x1)²+2(x1)-1]/[(x1)(x0)]

追问

第二问那？

追答

解2的基础是x0≠0
如果x0=0，则整个题目与a没有关系。
因此，必须有x0≠0

追问

等于0的时候不影响啊，当x=0时，g（0）=-2，可以在解啊
然后在讨论当x∈[-2，0)或x∈(0,2]

追答

也对。
是我看错题了，以为是求a的取值范围。
实际上是求a的值