Question

考研高等数学 泰勒公式的应用lim(x趋近于0)(tan(tanx)-sin(sinx))/(x-sinx)

题目：lim(x趋近于0)(tan(tanx)-sin(sinx))/(x-sinx)
解：因为x趋近于0，所以tanx~x sinx~x tan(tanx)~tanx sin(sinx)~sinx
所以 原式=（tanx-sinx）/（x-sinx） 然后泰勒展开（0.5）*6 =3
可是结果却是6 有什么不对的地方吗？还请研友大神详解 么么哒

Answer 1

运用泰勒公式最好采用等式，即代余项。如果不带余项，一定要保证运算后的必要的某阶的无穷小量的正确性。以本题为例，分母x-sinx的最低项为x^3项，所以各个泰勒展式都要保证x^3项是正确的。因此有：
sinx=x-x^3/6+o(x^3)
sin(sinx)=sinx-(sinx)^3/6+o(sinx)
=x-x^3/6+o(x^3)-(x-x^3/6+o(x^3))^3/6 +o(sinx)
=x-x^3/3+o(x^3)
tanx=x+x^3/3+o(x^3)
tan(tanx)=x+x^3/3+(x+x^3+o(x^3))^3/3+o(x^3)
=x+2/3 x^3+o(x^3)
lim(x-->0)(tan(tanx)-sin(sinx))/(x-sinx)
=lim(x-->0)(x+2/3 x^3+o(x^3)-x+1/3 x^3-o(x^3))/(1/6 x^3-o(x^3))
=lim(x-->0)(x^3+o(x^3))/(1/6 x^3-o(x^3))
=6
你上面的问题，就是用sinx代替了sin(sinx),用tanx代替了tan(tanx), 二者都不能保证x^3项的正确性。

Answer 2

lim(x趋近于0)(tan(tanx)-sin(sinx))/(x-sinx)
=lim(x趋近于0)[(x+x^3/3+(x+x^3/3)^3/3)+o(x^3)]-[x-x^3/6-(x-x^3/6)^3+o(x^3)]/[x-(x-x^3/6+o(x^3)]=[(2/3)+(1/3)]/(1/6)=6

Answer 3

等价替换不能用于加减哦，亲。tanx-sinx错啦