Question

电影《决胜21点》中羊和车的数学问题

一开始 给了33.3%的机会得到车。
主人公选了第一道。
但主持人打开了一道没有车的门，问他要不要更改自己的选项。
主人公改选了第二道，是因为自己选的只有33.3%的机会得到车，然而更改的话，几率就增加到了66.6%？

电影中的题目：

参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

明确的限制条件如下：
参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
主持人知道每扇门后面有什么。
主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。

电影中答案：
如果换门，得到车的几率会为66%

怎么算的？

Answer 1

有三扇门，主角第一次选择了有车的门，我们定义为"A事件"、主角第一次选择了没有车的门，我们定义为"非A事件"，那么A事件发生的概率记为P(A)=1/3，非A事件发生的概率记为P(非A)=1-P(A)=2/3。无论哪个门中有汽车，主角第一次选择之后，主持人都会选择一个没有车的门打开，然后让主角重新选择。因此，主角换门的中奖概率=P(A)*0%+P(非A)*100%=2/3。这是一个纯粹的概率问题，与主持人的主观意图没有任何关系，与主角一开始的选择也没有任何关系。
注：在A事件中，主角换门中奖的概率=0%，在非A事件中，主角换门的中奖的概率=100%，两个概率相加即为主角换门中奖的总概率=P(A)*0%+P(非A)*100%=2/3。很多人困扰于主持人排除一个错误答案后，提供第二次选择时正确的概率为50%，这实际上是一个假命题，主角一旦做出第一次选择，实际发生的就只有A事件和和非A事件，无论第二次如何选择，都不会改变A事件或者非A事件的既定概率，因此不存在50%概率问题。
扩展：有n个门，主角第一次选择了有车的门记为P(A)=1/n，主角第一次选择了没有车的门记为P(非A)=(n-1)/n，主持人打开一扇没有车的门后，让主角重新选择，主角换门的中奖概率=((n-1)/n)*(1/(n-2))，n≥3。
再扩展：有n个门，只有一扇门后面有车，“主角选择后，主持人打开一个没有车的门，并让主角重新选择”这一事件发生了m次，主角每次都重新选择（可以选择已经选过但没打开的门），中奖的概率为P(m)=（1-P(m-1))/(n-(m+1))。n≥3，n-2≥m≥0，P(0)、P(-1)均记为没有重新选择机会时的中奖概率，P(0)=P(-1)=1/n。当m=n-1时，中奖概率为100%

Answer 2

主人公选后得到车的概率是1/3，是羊的概率是2/3。选的车的话换后得车的该率为0，因为车被自己开始选了；选的是羊的话换后得车的概率是1，因为主持人把另一只羊派出了。一次总的该率为1/3*0+2/3*1=2/3。％
舍去小数部分的百分概率就为66％（33％×2约=0.33*2=0.66), 其实更接近67％。

Answer 3

其实怎么算的很多人已经给出答案了。我来跟你说我是怎么理解的。当年我看了这部电影后，不理解，于是用纸牌和弟弟模拟了一次，然后试了几次后，就明白了:你第一次选择时，是三选一，选中的可能是三分之一;然后主持人打开另外的一扇门，这时候你是否换？很简单，如果你坚持原来的门，则仍然是三分之一，如果你换门，其实就相当于否认原来的答案，否认三分之一概率的答案，你就获得了三分之二胜率。就是这么简单。如果还不明白，估计是我表达的问题。建议拿纸牌来模拟一下，马上你就明白了。

Answer 4

我感觉网上对这个问题的大部分解释都是错的，其实主持人打开一扇后面是羊的门后，换不换门，选车的概率都为50%，换门概率变为67%的出发点是那两扇门的总概率是67%，但前提是第三扇门还没开，还有是车的可能，如果第三扇门被打开了，是羊，那第三扇门是车的概率已经从33%降至0，那第2、3扇门的总概率也就下降为50%，所以换第2扇门不会增加概率

Answer 5

这里问题的关键是当主持人打开其中一个有羊的门的时候，是否影响你第一次选择的概率。
我们可以知道主持人是知道门后的东西的，同时门后是有两只羊和一辆车的，也就是说无论你第一次选择的是什么，主持人总能打开一个有羊的门，不选择换门就意味着这个选择是基于原来的概率1/3,而选择换门就是把原来两扇门的2/3的概率集合到了另一扇门中。