Question

f(x)=(1+x)^2-4lnx,当0<a<2时,求函数g(x)=f(x)-x^2-ax-1在[1,3]上的最小值

Answer 1

Answer 2

解：
已知：f(x)=(1+x)²-4lnx、g(x)=f(x)-x²-ax-1
所以：g(x)=(1+x)²-4lnx-x²-ax-1
g(x)=(2-a)x-4lnx
令：ρ(a)=(2-a)x-4lnx，
有：ρ'(a)=-x
因为：x∈[1，3]
所以：ρ'(a)＜0
故：ρ(a)是单调递减函数。而a∈(0，2)
因此：ρ(a)的最小值是：lim【a→2】ρ(a)=-4lnx
所求最小值，应该是lim【a→2】ρ(a)的最小值。
此时，有：g(x)=-4lnx
g‘(x)=-4/x
因为：x∈[1，3]，所以，恒有：g‘(x)=-4/x＜0
因此：g(x)是单调减函数。
故：所求最小值为：g(3)=-ln3
此时：a→2。

Answer 3

将f(x)=(1+x)^2-4lnx带入g(x)=f(x)-x^2-ax-1得
g(x)=(1+x)^2-4lnx-x^2-ax-1，将函数g(x)看成以a为自变量的函数号h（a）
h（a）是一次函数，在0<a<2上单调递减，所以g(x）的最小值为h（0）的最小值，即
g(x)=(1+x)^2-4lnx-x^2-1在[1,3]上的最小值。
g'(x)=2(x+1)-4/x-2x
令g'(x)=0得x=2
当x<2时单调减，x>2时单调增，所以x=2时有最小值4-4ln2