Question

已知X1,X2是一元二次方程 4KX平方-4KX+k+1=0的两个实数根。

1.是否存在实数K、使（2X1-X2）（X1-2^X2）=-2分之3成立?若存在，求出K的值；若不存在，请说明理由。
2.求使（X2分之X1 + X1分之X2） 减2的值为整数的实数K的整数值、

Answer 1

2^x2 2的x2次方？应该是2x2吧？
利用韦达定理
x1+x2=1,x1x2=(k+1)/4k
1、原式=2x1*2+2x2*2-5x1x2
=2[(x1+x2)*2-2x1x2]-5x1x2
=2(x1+x2)*2-9x1x2
=2-9(k+1)/4k=-3/2
k=9/5
b*2-4ac=16k*2-4k(k+1)=12k*2-4k=128.88>0
k=9/5

2、原式=(x1*2+x2*2)/x1x2-2
=[(x1+x2)*2-2x1x2]/x1x2-2
={1-[2(k+1)/4k]}/[(k+1)/4k]-2
=(2k-2)/(k+1)-2
=-4/(k+1)
要使此式为整数,则k+1能被-4整除
k+1=1,-1,2,-2,4,-4
k=0,-2,1,-3,3,-5

Answer 2

第一个问题： 假设存在满足条件的实数k。 由韦达定理，有：x1＋x2＝4k/（4k）＝ 1、x1x2＝（k＋1）/（4k）。 ∴（2x1－x2）（x1－2x2） ＝2x1^2－4x1x2－x1x2＋2x2^2＝2（x1 ^2＋x2^2＋2x1x2）－9x1x2＝2（x1＋x 2）^2－9x1x2 ＝2－9（k＋1）/（4k）。 依题意，有：（2x1－x2）（x1－2x2） ＝－3/2，∴2－9（k＋1）/（4k）＝－3 /2， ∴9（k＋1）/（4k）＝7/2，∴9（k＋1 ）＝14k，∴5k＝9。 ∴存在满足条件的实数k，且k＝9/5。但当k为此值时Δ=-28.8＜0，所以不成立。