Question

已知三角形ABC中,D,E分别为边BC,AC的中点,AD,BE交于点G,点M,N满足BM=aME,DM=uNA(a

已知三角形ABC中,D,E分别为边BC,AC的中点,AD,BE交于点G,点M,N满足向量BM=a向量ME,向量DM=u向量NA(a，u>0)向量MN=t向量BC（t属于R），S三角形ABC=1，则S三角形GMN的范围是

Answer 1

解：∵D、E分别为边BC、AC的中点，AD、BE交于点G
∴G为三角形ABC的重心
过G作GF⊥BC于F，AH⊥BC于H
则Rt△GDE∽Rt△ADF
∴GF/AH=GD/AD=1/3    

∴S△BDG/S△ABC=(1/2×BD×GF)/(1/2 ×BC×AH)=1/6    

∵S△ABC=1
∴S△BDG=1/6    

∵MN=tBC    (t∈R)

∴MN∥BD且MN/BD= 2t

∴S△GMN/S△GBD=(2t)2= 4t2

∴s△GMN=2/3t2

∵BM=aME    

DN=μNA    

其中λ，μ＞0
∴M不可能与E重合
∵

MN=tBC    (t∈R)

∴MN∥BD
∵

AE/AC=1/2    

∴0＜t＜1/2    

，
∴0＜t2＜1/4    

∴0＜2/3t2＜1/6    

∴0＜S△GMN＜1/6