Question

已知函数f(x)_=alnx+x^2(a为实常数） （1）当a=-4时，求函数f(x)的单调区间 （2）当x∈【

已知函数f(x)_=alnx+x^2(a为实常数） （1）当a=-4时，求函数f(x)的单调区间 （2）当x∈【1，e]时，讨论方程f(x)=0根的个数。（3）若a>0且对任意的x1,x2∈[1,e],都有|f(x1)-f(x2)|<=100|1/x1-1/x2|,求实数a的取值范围。

Answer 1

（1）f(x)的导数f'(x)=-4/x+2x，所以单调减区间为（-∞，-根号2】和（0,2】，单调增区间为（-根号2,0）和 （根号2，+∞）
（2）令f(x)alnx+x^2=0，则alnx=-x^2，令g(x)=-x^2,h(x)=alnx
法一：g(x)在（-∞.0】递增，在（0.-∞）递减
当a〉0时，h(x)为单调递增函数，在(0.+∞)递增
当a〈0时，h(x)为单调递减函数，在(0.+∞)递减
∴f(x)=0只有一个根。
法二：画出g(x)、h(x)的图像，标出交点。