Question

在半径为2的圆内随机地取一点A，以点A为中点做一条弦PQ，求弦PQ长超过圆内接正三角形的边长概率是

A.2/3 B.1/2 C.1/4 D.1/3

Answer 1

方法一：以点O做PCB内接圆，当点A在此内接圆内时，以点A为中点做一条弦PQ，此弦必然大于内接正三角形的边长概率。此处注意的是点A为中点。算出结果是1/4.

方法二：连接延长OA弦，OA垂直PQ弦。根据A点在OA上的位置，可知A点的概率是1/2.

两个结果都正确。好像1/3也是正确的，忘了做法。

Answer 2

我们首先考虑临界的情况，
当PQ长等于圆内接正三角形边长时，求出此时OA长为1；
然后以OA为半径画圆，
因为OA越小，弦PQ越长；
所以在半径为1的圆内任取A点，都符合要求；
概率为
P=S（半径为1的圆）/S（半径为2的圆）=1/4.
应选C。

Answer 3

B、1/2

符合要求的A点位置集合为一个圆，半径为1

追问

“弦PQ的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，
以点P为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形PBC，如图所示，
则要满足题意点Q只能落在劣弧BC上，又圆内接正三角形PBC恰好将圆周3等分，
∴P（M）=劣弧BC/圆周长=1/3

     这样算呢？

追答

这样固定死了P点。。不知道对不对呢。。
我的做法是，按你的图，作线BC的中点，在这中点和O点之间连线，线上的每一点作平行线//BC，每一条平行线都是符合题目要求的。
所以A点集合就是以BC的中点到O点的距离为半径的圆，这个半径为1。
在半径为2的圆内，A点的概率为1/2

追问

是面积之比吧？ 得πr²/πR²（r=1，R=2）=1/4吧。其实一开始我也是这么算的。

追答

对哦！哈哈，我都2了