Question

有关线性代数的问题

请问，如何证明矩阵AB和BA有相同的特征值，还有，如果两矩阵有相同的特征值，那么这两个矩阵就一定相似吗，请高手帮忙解答，谢谢

Answer 1

det(E - AB) = det(E - BA)，因为他们的特征多项式完全一样，所以AB和BA有相同的特征值，相似矩阵有相同特征值（包括重数），反之不成立，即两个矩阵的特征值相同，他们也不一定相似，二阶的很多反例

追问

为什么说他们的特征多项式一样，过程是什么呀，能不能详细讲讲，谢谢

Answer 2

关于特征值这块，简单来说，特征值和特征向量对于矩阵的意义 和 十字坐标XY轴对于数的关系类似。只有特征值和其对应的特征向量都完全一致才相似
只有特征值和特征向量完全对应的2个矩阵才相似，2个矩阵仅仅特征值相同，但特征向量不同就不相似；而且就算特征值和特征向量都相同但对应关系不一致也不相似