Question

在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于O,EC⊥底面ABCD,F为BE的中点

在四棱锥E-ABCD中.底面ABCD是正方形.AC与BD交于点O.EC垂直于底面ABCD.F为BE中点
.求证DE平行于ACF
.若AB等于根号2CE在线段EO上是否存在点G.使CG垂直平面BDE?若存在,求出EO/EG的值,若不存在,请说明理由

Answer 1

（1）

作GB垂直于平面ABCD且满足BG=CE，因为CE也垂直于平面ABCD，所以CE平行于BG

且角ECB=90°，所以BGEC是矩形，故EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD

由于EG和AD平行且相等，所以DEGA是平行四边形，所以DE∥AG，

由于F是BE中点，而BGEC是矩形，连接CG，显然CG交BE 与点F，故G在线段CF延长线上

故CG和CF是同一条直线，也就是平面ACF和平面ACG是同一个平面

而DE∥AG，AG∈平面ACG=平面ACF，所以DE∥平面ACF，证毕。

（2）

连接CO，显然CO⊥BD（因为ABCD是正方形），

因为ABCD是正方形，所以CB=CD，显然有三角形CEB全等于三角形CED，故BE=DE

又因为O是BD中点，所以EO⊥BD，又CO⊥BD，所以平面COE⊥BD，

所以平面COE⊥平面BED，故在平面CEO上作CH⊥OE交OE（或者OE的延长线[因为还不确定是不是在线段OE上]）于点H，则显然CH⊥平面BDE，

又因为角ECO=90°，所以三角形CEO是锐角三角形，显然其高CH在三角形内部，即H在EO线段上。

因为角ECO和角CHE都是直角，∠ECH=∠COH=90°-∠HCO，所以sin ECH=cos HCO

又设AB长为a*根号2，则CE=a，BD=2a，CO=BO=DO=a

tan ECH=tan HOC=EC:CO=1，所以∠COE=45°，所以∠ECH=∠OCH=∠COE=∠OEC=45° 

所以EH:HO=tan ECH：tan HCO=1，所以H是OE的中点，故EO：EH=2

 

（注：由于个人习惯不好，习惯了边看边做边画，所以在做第一问时没有注意到在第二问中用到了G，故在第一问辅助线的连接后使用了G，而第二问对应G的位置用了H表示，你在做的时候把所有的H和G对调一下就可以了。谢谢）

（注：其实第二问如果发现CO=CE，知道三角形COE是等腰直角三角形，可以直接知道三角形COE的高CH在三角形内部，且满足HO=HE，这里也是由于个人习惯不好，习惯了把条件的等价条件先写出来，导致用到了正弦定理等等[其实可以不用]，如果不介意的话就当复习巩固一下三角函数知识吧。因为为了节省时间，其实也是个人习惯，没有打草稿（其实我考试也不打草稿，直接在卷子上改，所以卷面一直很难看），直接用画图板画并直接在对话框里打内容的，所以可能顺序格式有点乱，不介意的话自己修改一下，谢谢。）

追问

我觉得没有这么复杂啦，其实是我懒得写就问了，早上自己做的时候觉得蛮简单的，你这种做法太过复杂和啰嗦，不过还是谢你啦