Question

一道数列难题！！！！！急需详细过程！@！！谢谢各位大神啦！！！

数列{an}的各项均为正值,a1=1,a(n+1²-1=4an(an+1),bn=log2(an+1)
（1）求数列{an}{bn}的通项公式；
（2）当k＞7，k∈N时,证明：对任意的n∈N*，都有1/bn+1/[b(n+1)]+1/[b(n+2)]+……+1/[b(nk-1)]＞3/2恒成立
数列{an}的各项均为正值,a1=1, a(n+1）²-1=4an(an+1), bn=log2(an+1)
（1）求数列{an}{bn}的通项公式；
（2）当k＞7，k∈N时,证明：对任意的n∈N*，都有1/bn+1/[b(n+1)]+1/[b(n+2)]+……+1/[b(nk-1)]＞3/2恒成立

Answer 1

解：（1）由an+12-1=4an(an+1)，
得（an+1+2an+1）（an+1-2an-1）=0，
数列{an}的各项为正值，an+1+2an+1＞0，
∴an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1），
∵a1+1=2≠0，
∴数列{an+1}为等比数列．
∴an+1=(a1+1)•2n-1=2n，an=2n-1，
即为数列{an}的通项公式．
∵bn=log2（an+1），
∴bn=log2(2n-1+1)=n．
（2）设S=1/bn+1/bn+1+1/bn+2+…+1/bnk-1=1/n+1/n+1+1/n+2+…+1/nk-1 ，
∴2S=（1/n+1/nk-1）+(1/n+1+1/nk-2）+（1/n+2 +1/nk-3）+…+（1/nk-1+1/n），
当x＞0，y＞0时，x_y≥2根号下xy
，
1/x+1/y≥2根号下1/xy
，
∴（x+y）（1/x+1/y）≥4，
∴1/x+1/y≥4/x+y
，当且仅当x=y时等号成立．
在2S=（1/n+1/nk-1）+（1/n+1+1/nk-2）+（1/n+2+1/nk-3）+…+(1/nk-1+1/n），中，k＞7，n＞0，
n+1，n+2，…，nk-1全为正，
所以2S＞4/n+nk-1+4/n+1+nk-2+4/n+2+nk-3+…+4/nk-1+n=4n(k-1) /n+nk-1
，
∴S＞2(k-1) 1+k-1/n＞2(k-1)/k+1=2（1-2/k+1）＞2（1-2/7+1）=32
，
故对任意n∈N*都有
1/bn+1/bn+1+1/bn+2+…+1/bnk-1＞3 /2
成立．