勾股定理数字有无规律

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匿名用户
2013-07-20

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如果三个正整数a、b、c，满足a2+b2=c2,那么这三个数就称为一组勾股数。据说，在公元前1000多年，我国古代数学家商高就发现了3，4，5 满足这一关系。更奇怪的是，古巴比伦人在更早的时候就列出了很多满足这个关系的数据组。古往今来，勾股数组被太多的人津津乐道，可见其神秘性和趣味性。
我在课后给学生布置了这样一个题目，请列出一些常见的勾股数组，仔细观察，看每组数之间有什么联系和规律？
因为曾经给学生介绍过关于勾股定理的证明的一些故事，关于定理的命名——“勾股定理”、“毕达哥拉斯定理”之争，关于《勾股方圆图注》、《青朱出入图》，美国总统对定理的证明以及画家达芬奇对这个定理的研究等，所以当这个课题提出以后，学生的兴趣分外浓厚。现在将他们发现的规律整理出来，供大家欣赏：
1、勾股数中的三个数不能全是奇数。
2、勾股数里的三个数要么全是偶数，要么只有一个偶数（即不可能出现只有两个偶数的情况）。奇数的平方为奇数，偶数的平方为偶数，而奇数+奇数=偶数，因此当两条直角边都为奇数时，斜边为偶数；当两条直角边都为偶数时，斜边为偶数；当两条直角边为一奇一偶时，斜边为奇数。
3、大于2的任何一个整数都可以作为直角三角形的一条边长，而且可以很快地得到包含这个数在内的一组勾股数。比如，给出一条直角边长为9 ，那么将9平方得81，然后将81分成相邻的两个正整数40 、41的和，就得到一组勾股数9，40，41。如果给出的一个数是偶数，也很简单，比如给出一个数12，那么12除以2得6，62-1=35，62+1=37，这样就得到勾股数12，35，37 。
4、规律3可以用字母表示为：当n是奇数时，n，，是一组勾股数。当n是偶数时，n，，是一组勾股数。
5、将规律4逆用，可以得到：（1）如果一组勾股数中两个较大的数相差1，那么这两个数的和就是第三个数的平方；（2）如果两个较大的数相差2，那么这个两个数中间所夹的整数是第三个数的一半的平方。比如：7，24，25 是一组勾股数，其中24+25 =72；8，15，17是一组勾股数，15、17中间所夹的整数16 恰是8的一半4的平方。证明起来也很简单。（1）的证明如下：设a,b,b+1 是一组勾股数，那么a2 +b2 =(b+1)2=b2+2b+1,于是得到a2=2b+1=b+(b+1) 即b+(b+1)=a2。（2）的证明与（1）类似。
6、 m2-1，2m，m2+1(m )是一组勾股数。
2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1 (n 是正整数)是一组勾股数。（当然，这应该算是毕达哥拉斯学派首先发现的）
这两组勾股数都可以通过勾股定理的基本公式得到证明。
7、6中的两个公式不能涵盖所有的勾股数，要想涵盖所有的勾股数，需要用m2-n2,2mn,m2+n2(m>n且、是正整数)。