Question

sinα+sinγ=sinβ,cosα-cosγ=cosβ,求β-α

αβ γ∈（0,90）

Answer 1

你好

sinα+sinγ=sinβ
sinγ=sinβ-sinα
两边平方得
sin ²γ=sin ²β+sin ²α-2sin βsin α（1）
cosα-cosγ=cosβ
cosγ=cosα-cosβ
两边平方得
cos ²γ=cos ²α+cos ²β-2cosαcosβ （2）
（1）+（2）
1=2-2sin βsin α-2cosαcosβ
1=2-2（sin βsin α+cosαcosβ ）
1=2-2cos（α-β）
cos（α-β）=1/2
α、β、 γ∈（0,π/2）
sinα＞0，sinγ＞0，sinα+sinγ=sinβ ，得sinβ＞sinα，β＞α
cos（β-α）=cos（α-β）=1/2
β-α=π/3

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Answer 2

sinα+sinγ=sinβ
(sinγ)^2 = (sinβ-sinα)^2 (1)

cosα-cosγ=cosβ
(cosγ)^2 = (cosα-cosβ)^2 (2)

from (1) (2)
1-(sinβ-sinα)^2 = (cosα-cosβ)^2
1 = 2 - 2(cosαcosβ+ sinαsinβ)
cos(β-α) = 1/2
β-α = π/3