Question

设函数f(x)=x-1/x,对任意x∈[1,+∞ ),+mf（不等式f（mx）x）＜0恒成立的实数m称为函数f（x)的“伴随值”

则m的取值范围是？（网上的其他答案看不懂，大家帮帮忙，希望讲的通俗易懂些，嘿嘿，谢谢！）
设函数f（x）=x-1/x，对任意x∈[1，+∞)，f（mx）+mf（x）<0恒成立，则实数m的取值范围是_

Answer 1

f(mx)+mf(x)<0 (x≥1) 恒成立(其中m≠0)，
代入f(x)整理得
2mx<(m^2+1)/(mx) (x≥1) 恒成立，
因为x≥1>0，
有2mx^2-(m^2+1)/m<0 (x≥1) 恒成立..........(*)
把上式看成关于x的一元二次不等式(m≠0)，
那么2m<0..........(1)
开口向下，对称轴x=0，
那么函数y=2mx^2-(m^2+1)/m在[1，∞)上单调递减，
在[1，∞)上当且仅当x=1时取得最大值，
当且仅当最大值小于0时(*)成立，
那么2m-(m^2+1)/m<0..........(2)
由(1)(2)解得m<-1，
所以m的取值范围是(∞，-1)。

Answer 2

设g(x)=f(mx)+mf(x)=mx-1/(mx)+mx-m/x = 2mx-(m+1/m) /x
若m>0 g（x）为递增函数，所以g(x)<0 恒成立 是不可能的。
所以m<0 所以g(x)为减函数 若g(1)<0 则g(x) 对任意x∈[1，+∞)
均有g(x)<0
即化简为2m-m-1/m<0 (m^2-1)/m<0 又m<0 所以m^2-1>0

m<-1

Answer 3

变为2mx-1/mx-m/x<o恒成立，x∈[1，+∞)，乘个X，则2mx2-1/m-m<0对任意x∈[1，+∞)恒成立，

2mx2<m+1/m

1. m=0舍

2. m>0,2x2<1/m2+1,x2无最大值，舍

3. m<0,2x2>1/m2+1,m<-1

综上m<-1

Answer 4

“+mf（不等式f（mx）x）＜0”能解释一下吗？好像符号有问题啊

追问

嗯，这个不对，底下有正确的题。