Question

设函数f（x）=x-1/x，对任意x∈[1，+∞)，f（mx）+mf（x）<0恒成立，则实数m的取值范围是_

Answer 1

答：
f(x)=x-1/x，对任意x>=1：f(mx)+mf(x)<0
f(mx)=mx-1/(mx)，mf(x)=mx-m/x
f(mx)-mf(x)
=mx-1/(mx)-mx+m/x
=(m²-1)/(mx)<0
因为：x>=1
所以：(m²-1)/m<0
当m<0时：m²-1>0，解得：m<-1
当m>0时：m²-1<0，解得：0<m<1
综上所述，m的取值范围是m<-1或者0<m<1

追问

第三行那应该是加吧？正确答案是m＜-1.

追答

答：
f(x)=x-1/x，对任意x>=1：f(mx)+mf(x)1/x²
2/(1+1/m²)>1>=1/x²
所以：1+1/m²1不符合m0时：m+1/m>=2，1/x²<=1
所以：2m/(m+1/m)<1/x²
2/(1+1/m²)<=1/x²<=1
当x趋于正无穷时，1/x²趋于0，2/(1+1/m²)是定值，
因此上式不等式不成立

综上所述，m<-1

追问

(m²+1)/(mx²)=(m+1/m)*(1/x²) 这是怎么得来的？

追答

(m²+1)/(mx²)
=[(m²+1)/m]*(1/x²)
=(m+1/m)*(1/x²)

追问

• 为什么当m<0时：m+1/m<=-2，1/x²<=1？全都看不懂。。。
  

追答

对勾函数知道吗？
x>0时：f(x)=x+1/x>=2
x=0
所以：a²+1/a²>=2