Question

已知函数f(X)=e的(x次方)乘(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0) )处切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨

已知函数f(X)=e的（x次方)乘（ax+b)-x²-4x,曲线y=f(x)在点（0，f(0) )处切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值；（2）讨论f(x)的单调性，并求F（x）的极大值

Answer 1

f(x)=e^x*(ax+b)-x^2-4x
则，f'(x)=e^x*(ax+b)+e^x*a-2x-4
所以，f'(0)=b+a-4
已知在(0,f(0))处的切线为y=4x+4
所以，f'(0)=4
===> a+b=8
又点(0,f(0))在切线上，所以：f(0)=4
而，f(0)=b
所以，a=b=4

那么，f'(x)=4(x+2)e^x-2(x+2)=2(x+2)*(2e^x-1)
当f'(x)=0时有：x=-2，或者x=-ln2
当x＞-ln2时，f'(x)＞0，f(x)递增
当-2＜x＜-ln2时，f'(x)＜0，f(x)递减
当x＜-2时，f'(x)＞0，f(x)递增
所以，f(x)有极大值f(-2)=0

追问

f(x)=e^x*(ax+b)-x^2-4x
则，f'(x)=e^x*(ax+b)+e^x*a-2x-4 怎么变的

追答

函数求导啊，这个不会么？！

Answer 2

f(0) = e^(-b)
切线上, x = 0, y = 4, e^(-b) = 4, b = -2ln2
f'(x) = ae^(ax - b) - 2x - 4
f'(0) = ae^(-b) - 4 = 4 (切线斜率)
4a - 4 = 4
a = 2
(2)
f(x) = e^(2x + 2ln2) - x^2 - 4x = 4e^(2x) - x^2 - 4x
f'(x) = 8e^(2x) - 2x - 4 = 0
没有容易解法。但容易看出，x ->负无穷时，e^(2x) ->0, f(x)行为与-x^2 - 4x类似, 为增函数；
x ->正无穷时，e^(2x) ->0, f(x)行为与e^(2x)类似, 为增函数；
作图:
极大值约为f(-1.93) = 4.01
极小值约为f(-0.49) = 3.20