Question

如图,在△ABC中,CD是中线,AC²+BC²=4CD²,求证:△ABC是直角三角形.

Answer 1

证明：在CD的延长线上取点E，使DE＝CD
∵CD是中线
∴AD＝BD
∵DE＝CD，∠ADC＝∠BDE
∴△ADC≌△BDE （SAS）
∴BE＝AC，∠E＝∠ACD
∴AC∥BE
∵AC²+BC²=4CD²
∴BE²+BC²=4CD²
∵CE＝CD+DE＝2CD
∴CE²＝4CD²
∴BE²+BC²＝CE²
∴∠CBE＝90
∴∠ACB＝180-∠CBE＝90
∴△ABC是直角三角形

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Answer 2

证明：延长CD，使DE=CD=1/2CE，连接AE
因为CD是中线
所以AD=BD
因为角ADE=角BDC
所以三角形ADE和三角形BDC全等（SAS)
所以BC=AE
角DAE=角B
所以AE平行BC
所以角CAE+角ACB=180度
因为AC^2+BC^2=4CD^2
所以AC^2+AE^2=CE^2
所以三角形CAE是直角三角形
所以角CAE=90度
所以角ACB=90度
所以三角形ABC是直角三角形

Answer 3

过A作BC平行线，过B作AC平行线。所以ABCE是平行四边形。因为D是AB中点。平行四边形对角线互相平分。所以CD延长线交于E。CE=2CD。所以AC^2+AE^2=CE^2(AE=BC)所以角CAE=90度。AEBC是矩形。所以三角形ABC是直角三角形。