Question

a，b，c为正整数，求证a八次+b八次+c八次≥a立方b立方c平方+a平方b立方c立方+a立方b平方c立方

Answer 1

右边=a³b³c²+a²b³c³+a³b²c³
=a²b²c²(bc+ca+ab)
≤a²b²c²[(b²+c²)/2 +(c²+a²)/2 +(a²+b²)/2]
=a²b²c²(a²+b²+c²)
=a⁴b²c² + b⁴c²a² + c⁴a²b² 【 b²c²≤(b²+c²)/2,c²a²≤(c²+a²)/2,a²b²≤(a²+b²)/2】
≤a⁴(b⁴+c⁴)/2 +b⁴(c⁴+a⁴)/2 +c⁴(a⁴+b⁴)/2
=a⁴b⁴+ b⁴c⁴+ c⁴a⁴
≤(a^8+b^8)/2+(b^8+c^8)/2+(c^8+a^8)/2
=a^8+b^8+c^8=左边

∴a^8+b^8+c^8≥a³b³c²+a²b³c³+a³b²c³

连续使用基本不等式【ab≤(a²+b²)/2】
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