Question

求证不等式 高中

x，y， z >0
求证27*（x+y）^2*(y+z)^2*(z+x)^2大于等于64(xy+yz+xz)^3

Answer 1

提供另一种方法, 也许简单一点?
记q = xy+yz+zx, 有(x+y)(y+z) = q+y², (y+z)(z+x) = q+z², (z+x)(x+y) = q+x².
因此27(x+y)²(y+z)²(z+x)² = 27(q+x²)(q+y²)(q+z²)
= 27q³+27q²(x²+y²+z²)+27q(x²y²+y²z²+z²x²)+27x²y²z²
= 27q³+26q²(x²+y²+z²)+27q(x²y²+y²z²+z²x²)+(q²x²+9x²y²z²)+(q²y²+9x²y²z²)+(q²z²+9x²y²z²)
≥ 27q³+26q²(x²+y²+z²)+27q(x²y²+y²z²+z²x²)+6qx²yz+6qxy²z+6qxyz² (均值不等式)
= 27q³+26q²(x²+y²+z²)+27q(x²y²+y²z²+z²x²)+3q(2(xy)(yz)+2(yz)(zx)+2(zx)(xy))
= 27q³+26q²(x²+y²+z²)+24q(x²y²+y²z²+z²x²)+3q((xy)²+(yz)²+(zx)²+2(xy)(yz)+2(yz)(zx)+2(zx)(xy))
= 27q³+26q²(x²+y²+z²)+24q(x²y²+y²z²+z²x²)+3q(xy+yz+zx)²
≥ 30q³+26q²(xy+yz+zx)+24q(x²y²+y²z²+z²x²) (不等式x²+y²+z² ≥ xy+yz+zx)
≥ 56q³+8q(xy+yz+zx)² (不等式3(a²+b²+c²) ≥ (a+b+c)², 取a = xy, b = yz, c = zx)
= 64q³
= 64(xy+yz+zx)³.

追问

均值不等式那一步能写得再详细一点么 不知道如何演算。

追答

这里直接用a²+b² ≥ 2ab形式就可以.
q²x²+9x²y²z² = (qx)²+(3xyz)² ≥ 2(qx)·(3xyz) = 6qx²yz.
同理q²y²+9x²y²z² ≥ 6qxy²z, q²z²+9x²y²z² ≥ 6qxyz².

大致思路是这样的:
放缩的目标是xy+yz+zx, 而x²+y²+z²和x²y²+y²z²+z²x²都是"相对大"的,
因为分别有不等式x²+y²+z² ≥ xy+yz+zx, 和3(x²y²+y²z²+z²x²) ≥ (xy+yz+zx)².
然而x²y²z²却是"相对小"的, 因为27x²y²z² ≤ (xy+yz+zx)³.
为此要用"较大"的项与之"中和"一下, 就有了这步均值不等式.
其中系数配比恰好保证x = y = z时等号成立.
放缩产生的形如x²yz的项刚好是(xy+yz+zx)²的交叉项,
可以与x²y²+y²z²+z²x²配成(xy+yz+zx)².
然后就只剩"相对大"的项了, 分别放缩即可.

Answer 2

记A=xy>0,B=yz>0,C=xz>0，则由排序不等式易知
A³+B³+C³≥A²B+B²C+C²A，A³+B³+C³≥A²C+C²B+B²A
=>2(A³+B³+C³)≥A²B+B²C+C²A+A²C+C²B+B²A
记S=A²B+B²C+C²A+A²C+C²B+B²A，则
2(A+B+C)(A²+B²+C²)=2(A²(A+B+C)+B²(A+B+C)+C²(A+B+C))
=2(A³+B³+C³+S)≥3S =>2(A³+B³+C³)≥S
又A³+B³+C³≥3ABC
∴64(A+B+C)³=54(A+B+C)³+10(A³+B³+C³+3S+6ABC)
=54(A+B+C)³+10(A³+B³+C³)+27S+27ABC+3S+33ABC
≤54(A+B+C)³+10(A³+B³+C³)+27S+27ABC+6(A³+B³+C³)+11(A³+B³+C³)
=54(A+B+C)³+10(A³+B³+C³)+27S+27ABC+6(A³+B³+C³)+11(A³+B³+C³)
=54(A+B+C)³+27(A³+B³+C³+S+ABC)
=54(A+B+C)³+27(A+B+C)(A²+B²+C²)+27ABC
再记W=A+B+C，则易知A+B+C=xy+yz+xy≤x²+y²+z²
∴上式=54W³+27(A²+B²+C²)W+27ABC
≤27W³+27(x²+y²+z²)W²+27(A²+B²+C²)W+27ABC
=27[W³+(x²+y²+z²)W²+((xy)²+(yz)²+(zx)²)W+(xyz)²]
=27(W+x²)(W+y²)(W+z²)
而W+x²=x²+xy+yz+zx=x²+x(y+z)+yz=(x+y)(x+z)
同理有W+y²=(y+x)(y+z)，W+z²=(z+x)(z+y)
∴上式=27(x+y)²(y+z)²(z+x)²
即27(x+y)²(y+z)²(z+x)²≥64(A+B+C)³=64(xy+yz+zx)³