Question

一个三阶行列式的计算

丨99 100 101 丨
丨99² 100² 101²丨
丨99³ 100³ 101³丨请给出详细的步骤和思路，谢谢

Answer 1

三阶行列式可用对角线法则：

D＝a11a22a33＋a12a23a31＋a13a21a32－a13a22a31－a12a21a33－a11a23a32。

矩阵矩阵由矩阵B，C，是A对应的第一行乘以元素B在元素的第一列，每个元素加C11，A对应的第一行乘以B每个元素的第二行，加C12，C的第二行元素为A的第二行元素按上述方法与B相乘的结果，N阶做这个由矩阵，A的列数必须与B的行数相同。

三阶行列式的性质：

性质1：行列式等于它的转置行列式。

性质2：行列式的两行（列）互换，行列式改变符号。

推论：如果一个行列式的两行（列）相等，则行列式为零。

性质3：行列式的一行（列）的所有元素乘以相同的数字k等于行列式乘以数字k。

推论：行列式的行（列）中所有元素的公因式可以在行列式符号外提到。

性质4：如果元素的两行（列）成比例，行列式等于零。

属性5：行列式的一列（行）的每个元素乘以相同的数字，并将其加到另一列（行）的相应元素上。行列式保持不变。

Answer 2

令D=99 100 101 D1=1 1 1 1

99² 100² 101² 99 100 101 a
99³ 100³ 101³ 99² 100² 101² a²
99³ 100³ 101³ a³
则D1即范德蒙行列式
D1 ＝1×(﹣1)5此方×D ＋[a×。。。＋a²×。。。＋a³×。。。] (中括号内都是含a项)
＝（a－101）×（a－100）×（a－99）×（101－100）×（101－99）×（100－99）
＝（a－101）×（a－100）×（a－99）×2
则易知 D1 中常数项为 （－101）×（－100）×（－99）×2＝﹣1999800 其余都是含a项
∴1×(﹣1)5此方×D＝﹣1999800
∴D＝1999800
综上，所给行列式值为 D＝1999800

Answer 3

降为3个二阶行列式之和,即，n阶行列式等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和。
a=100

三阶行列式D=(-1)^(1+1)*99*(100^2*101^3-100^3*101^2)
+(-1)^(1+2)*100*(99^2*101^3-99^3*101^2)
+(-1)^(1+3)*101*(99^2*100^3-99^3*100^2)
=(a-1)*[a^2(a+1)^3-a^3(a+1)^2]-a*[(a-1)^2(a+1)^3-(a-1)^3(a+1)^2]+(a+1)*[a^3(a-1)^2-a^2(a-1)^3]
=(a-1)*a^2*(a+1)^2-2a*(a-1)^2*(a+1)^2+(a+1)*a^2*(a-1)^2
=(a-1)*a*(a+1)^2
=100989900

Answer 4

第一、二、三列分别提公因数99、100、101，得99*100*101*
1 1 1
99 100 101
99^2 100^2 101^2,第二、三列分别减去第一列，得999900*
1 0 0
99 1 2
99^2 199 400,按第一行展开得1999800.