Question

已知曲线方程y=x²，求过点(3,5)且与曲线相切的直线方程

过程我有了,是用设k的方式解的.
我想问的是,
导数不就是曲线在点的切线斜率吗?
既然是这样那k就为2*3=6啊..
问题是这样推下去是错的...?

Answer 1

导数不就是曲线在点的切线斜率，但曲线不过点（3,5），切线才过点（3,5）
设切线斜率为k, 切线方程为 y-5=k(3-x)
把y=x^2代入，得到方程x^2-kx+3k-5=0
delat=0,
x1=10, k2=2
切线方程为 y-5=10(x-2), y-5=2(x-2), 化简即可

Answer 2

b(3,5)不在曲线上，
过b(3,5)点且与曲线相切的直线方程设为：y=k(x-3)+5=kx-3k+5
代入曲线得：kx-3k+5=x^2
相切此方程有等根，因此判别式=k^2+4(5-3k)=(k-10)(k-2)=0
得：k=10或2
因此过b（3，5）有两条直线与曲线相切：
y=10x-25
y=2x-1

Answer 3

显然点(3, 5)不在曲线上
设切点为A(a, a²)
y = x², y' = 2x
过A的切线为y - a² = 2a(x - a)
(3, 5)在切线上: 5 - a² = 2a(3 - a)
a² - 6a + 5 = 0
(a - 1)(a - 5) = 0
a = 1, 切线y = 2x - 1
a = 5, 切线y = 10x - 25

追问

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为什么Δ=0而不是>0或<0

追答

Δ > 0, 二者有两个公共点, 即相交
Δ < 0, 二者无公共点, 即相离。

追问

判别式不是用来判断与x轴的交点的吗?
怎么变成了与曲线的交点??

追答

这里是直线和曲线的交点。移项就变成一元二次方程。

追问

判别式不是用来判断与x轴的交点数量的吗?
从哪一步开始变成了判断直线与曲线交点的数量的公式?
.....
这判别式也忒神了..

追答

这有什么神的，任何两个方程(两条曲线，含直线)联立，解的个数即为公共点个数。

追问

哦哦...
- -,
我知道了.求交点用的主要是联立方程,
判别式只是用来解方程和求k值.对吗?

追答

对

Answer 4

那个点不在曲线上，怎么可以将x=3带到导数里求k呢。。。

Answer 5

碰到什么错误了?

这样推下去是...

f'(x) = 2x
f'(3) = 2*3 =6

y-5 = f'(3)(x-3)
y= 6(x-3)+5 = 6x -13

追问

6x-13只过点,
不过切线

追答

对了.
可以设在曲线上的那个切点是(x0, y0)
y0 = x0²

f'(x0) = 2x0
与曲线相切的直线是,
y-5 = f'(x0)(x-3) = 2x0 (x-3)
直线又过(x0, y0), 有
y0 -5 = 2x0(x-3)
x0² -5 = 2x0(x0-3)
求出x0 = 5或 x0=1
就得到直线是

y-5 = 2(x-3) 或 y-5 = 10(x-3)