Question

为什么说空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集

为什么？任何集合不是包括非空集合和空集吗，空集是空集的子集，非空集合的子集不是空集吗，那子集为什么会是非空集合的真子集

Answer 1

首先真子集是子集中的一类。是子集中除了集合本身以外的子集。

例如A的真子集就是A的子集中，除了A本身以外的其他子集。

所以说空集是任何集合的子集是对的，空集也是本身的子集。任何集合都是自己的子集。

但是空集只是空集的子集，不是空集的真子集。

非空集合的子集除了空集以外，至少还有这个非空集合本身这个子集。

追问

那为什么空集是任何非空集合的真子集

追答

首先要明白真子集的定义。

真子集的定义是和子集的定义联系在一起的。

A的所有元素都是B的元素，就说A是B的子集。这是子集的定义。

而A是B的子集，且B中至少有1个元素不属于A，那么就说A是B的真子集。

那么现在来看空集和非空集合。

首先空集是没有元素的集合，而非空集合是至少有1个元素的集合。

那么那么从逻辑上讲。所有属于空集的元素（不存在这样的元素），都是属于非空集合，所以人们规定空集是含空集和非空集合在内的所有集合的子集。而非空集合至少有1个元素，这个元素就不是空集的元素（因为空集是没有任何元素的）。所以空集符合所有属于空集的元素都是非空集合的元素，且非空集合中至少有1个元素不属于空集这样的真子集定义。所以空集是任何非空集合的真子集。

此外，你的疑问到底是什么？因为无论是从定义，还是从逻辑上讲，“空集是非空集合的子集”和“空集是非空集合的真子集”这两句话都没错，都同时成立。

这就好比说“3是正整数”这句话是对的，说“3是有理数”这句话也是对的。因为正整数是有理数的一种。所以是正整数，必然是有理数。

而真子集是子集的一种，所以是真子集，必然是子集。