Question

在斜三角形ABC中,角A.B.C的对边分别为a.b.c(1)若2sinAcosC=sinB,求a/c的值（2）

(1)若2sinAcosC=sinB,求a/c的值（2若sin(2A+B)=3sinB,求tanA/tanC的值

Answer 1

1. 2sinAcosC=sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA
移项，有sinAcosC+sinCcosA-2sinAcosC=0
即 sinAcosC-sinAcosC=0 ∴sin(A-C)=0
A-C=180°（舍去，在三角形中，这不可能）。或者A-C=0
所以角A=角C 所以a/c=1
2. sin(2A+B)=sin(A+A+B)=sin(A+π-C)=sin[π-(C-A)]=sin(C-A)
sinB=sin(π-A-C)=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
∴sin(C-A)=3sin(A+C)
所以sinCcosA-cosCsinA=3sinAcosC+3cosAsinC
两边同时除以cosCcosA（A,C均不为90°，所以cosC,cosA均不等于0，他们的乘积也不等于0）,
得 tanC-tanA=3tanA+3tanC
∴-2tanC=4tanA
tanA/tanC=-2/4=-1/2（负的二分之一）

Answer 2

1.
2sinAcosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC
sinAcosC-cosAsinC=0
sin(A-C)=0
A、C为三角形内角，A=C
a/c=1
2.
sin(2A+B)=3sinB
sin[(A+B)+A]=3sin[(A+B)-A]
sin(A+B)cosA+cos(A+B)sinA=3sin(A+B)cosA-3cos(A+B)sinA
2sin(A+B)cosA-4cos(A+B)sinA=0
sinCcosA+2cosCsinA=0
等式两边同除以cosAcosC
tanC+2tanA=0
tanA/tanC=-1/2