Question

设a>0,求函数f(x)=√x-ln(x+a)（x∈（0，+无穷））的单调区间

解题时为什么要考虑a>1、a=1、0<a<1?

Answer 1

f(x)=√x-ln(x+a)
f'(x)=1/2*1/√x-1/(x+a)
=√x/(2x)-1/(x+a)
=[(x+a)√x-2x]/[x(x+a)]
=√x(x-2√x+a)/[x(x+a)]
f'(x)的符号即是x-2√x+a的符号
令√x=t>0,,即g(t)=t²-2t+a的符号
g(t)= t²-2t+a=(t-1)²+a-1 ,g(0)=a>0

当a-1>0时，g(t)>0恒成立
∴f'(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)为增函数

当a-1=0即a=1时，g(t)≥0恒成立
∴f'(x)≥0恒成立，f(x)在(0,+∞)为增函数

当0<a<1时，f'(x)=0即g(t)=0
得到(t-1)²=1-a,
解得t1=[1-√(1-a)]/2,t2=[1+√(1-a)]/2
x1=t²1,x2=t²2
∴递增区间为(0,t²1),(t²2,+∞)
递减区间为(t²1,t²2)

Answer 2

x+a必须大于等于1