Question

已知a,b均不小于0，则ab<（a+b)/2?这个不等式恒成立吗？

Answer 1

不成立，如当a=b=2时，ab=4，而(a+b)/2=4/2=2 4>2，所以ab<(a+b)/2不成立
原题应为：
已知a,b均不小于0，则ab≤(a²+b²)/2?这个不等式恒成立吗？
此时不等式恒成立
证明：
∵(a-b)²≥0
∴a²+b²-2ab≥0
∴a²+b²≥2ab
即ab≤(a²+b²)/2

Answer 2

不恒成立，缺少取等号的情况
ab≤（a+b)/2

追问

能介绍一下这个不等式的推理过程吗？

追答

以上还缺少平方，应该是：ab≤[(a+b)/2]²或ab≤(a²+b²)/2

推导如下：
(a-b)²≥0
去括号展开得
a²+b²-2ab≥0
(a+b)²-4ab≥0
4ab≤(a+b)²
ab≤(a+b)²/4=[(a+b)/2]²
即ab≤[(a+b)/2]²

此外，
(a-b)²≥0
去括号展开得
a²+b²-2ab≥0
2ab≤a²+b²
即ab≤(a²+b²)/2