Question

如图，以三角形ABC的两边AB,AC为斜边向形外做等腰RT三角形ABD和等腰RT三角形ACE，M为B

C的中点，连接MD,ME,试确定MD,ME之间的数量关系，证明结论

Answer 1

Answer 2

MD=ME
分别取AB, AC的中点F,G。
分三种情况讨论。
当MD,不过F，ME不过G时，连接D,F；连接E,G，连接F,M；连接G,M.
因为△ABD与△ACE是直角三角形，所以D,E分别在以AB为直径的圆与以AC为直径的圆上。
所以FD=FA, GA=GE.
又FM, GM为中位线，所以FA=GM. GA=FM.
所以、FD=GM. GE=FM.
因为△AFD,△AGE为等腰三角形，且∠DAB=∠EAC，所以∠DFA=∠AGE
因为四边形AFMG为平行四边形，所以∠AFM=∠AGM.
所以△DFM≌△MGE.所以MD=ME.
2.当MD,ME过F,G时，DF=DA=GM. FM=GA=GE.
MD=DF+FM ME=GM+GE,所以MD=ME。
3.当MD,ME中只有一个过对应的中点。
下面说明这是不可能的。
假设上述情况可能，不妨设MD过F，而ME不过G。
显然由1中的部分证明知道∠DAF=∠AGE, ∠DFB=∠AFM=∠AGM.
于是180°=∠BFD+∠DFA=∠MGA+∠MGE≠180°显然矛盾。
所以第三种情况不存在。
所以MD=ME。证毕。
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