Question

初一数学题，帮忙告诉我解法。一定加分，谢谢！

在公式（a+1）^2=a^2+2a+1中,当a分别取正整数1,2,3,…,n时，可以得到n个等式：
(1+1)^2=1^2+2*1+1;
(2+1)^2=2^2+2*2+1;
(3+1)^2=3^2+2*3+1;
(4+1)^2=4^2+2*4+1;
……
(n+1)^2=n^2+2n+1.
将这n个等式左右两边相加，可推导出前n个正整数的和的公式，即1+2+3+…+n可以用含n的代数式表示。请你推导出此公式来，并利用它计算：
（1）15+16+17+18+…+67;
(2)1+2+3+4+…+2007.
-----------------------------------------------------------------答案我都知道，但老师讲的我没听懂。这道题什么意思我都不知道，麻烦各位帮我解释一下，告诉我做法。

Answer 1

哦，我看你们老师是想让你们巧用公式求一些复杂问题的解吧。这个1+2+3+…+n高中有专门的公式求解的，但对于你们来说这个没学过是超纲的。
(1+1)^2=1^2+2*1+1;
(2+1)^2=2^2+2*2+1;
(3+1)^2=3^2+2*3+1;
(4+1)^2=4^2+2*4+1;
……
(n+1)^2=n^2+2n+1.

将这n个等式左右两边相加，得 2^2+3^2+…+（n+1)^2=1^2+2^2+3^2+
…+n^2+2*(1+2+3+…+n)+n
然后两边消去相同项，得 (n+1)^2=1^2+2*(1+2+3+…+n)+n
再移项整理 ，得 1+2+3+…+n=（n^2+n)/2
得出的这个结论其实就是高中会学的N个正整数相加的公式，然后你们老师大概让你们利用这个公式来解题目
你的第（1）道： 15+16+17+18+…+67相当于把1+2+…+67的和减去1+2+…+14的解。套前面求得的公式可以得到答案，你说答案你知道我就不解了。
你的第（2）道：1+2+…+2007其实更简单了，就是数字多了点。你同样套这个求得的公式，就可以算出答案。

其实计算什么的没啥意思的，你们老师主要想让你们自己证出那个公式。因为这个公式求出来了下面的计算都很简单的。

Answer 2

我来看:两边等式相加:可得
2的平方加3的平方加4的平方...+(n+1)的平方=1的平方+...+n的平方+2(1+...+n)+n,消去相同的项,可得:(n+1)的平方=1+2(1+...+n)+n
则有:1+...+n=[(n+1)的平方-n-1]/2
那么,15+...+67=(1+...+67)-(1+...+14)=(68的平方-67-1)/2-(15的平方-14-1)/2=2278-105=2173
1+...+2007=(2008的平方-2007-1)/2=2015028

Answer 3

(1+1)^2=1^2+2*1+1;
(2+1)^2=2^2+2*2+1;
(3+1)^2=3^2+2*3+1;
(4+1)^2=4^2+2*4+1;
……
(n+1)^2=n^2+2n+1.

将这n个等式左右两边相加，得 2^2+3^2+…+（n+1)^2=1^2+2^2+3^2+
…+n^2+2*(1+2+3+…+n)+n
然后两边消去相同项，得 (n+1)^2=1^2+2*(1+2+3+…+n)+n
再移项整理 ，得 1+2+3+…+n=（n^2+n)/2
得出的这个结论其实就是高中会学的N个正整数相加的公式，然后你们老师大概让你们利用这个公式来解题目
你的第（1）道： 15+16+17+18+…+67相当于把1+2+…+67的和减去1+2+…+14的解。套前面求得的公式可以得到答案，你说答案你知道我就不解了。
你的第（2）道：1+2+…+2007其实更简单了，就是数字多了点。你同样套这个求得的公式，就可以算出答案。

Answer 4

好变态的题！！！这是高中的等差数列求和！！这也能在初中出？？怎么给你讲呢？？用个简单的吧
你回求梯形面积吧上底加下底乘以高除以2 对不？那你想比如求2+3+4+5+6=？那你把他分开
1+1
1+1+1
1+1+1+1
1+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1求他们的和 就是求面积对吧？？
那就是〈（2+6）*5〉/2=20
再说你那两题（15+67）*53/2=自己算吧 53是由15到67共53个数
所以等差数列前N项和等于首项加尾项乘以项数除以2
拜托一个一个字打的 采纳吧！！！！！！！！

Answer 5

A+（A+1）+（A+2）+……+B=（A+B）/（B-A+1）
再代入

Answer 6

它的左边加起来是: 2^2+....+(n+1)^2
右边加起来是:(1^2+2^2+....+n^2)+2(1+2+....+n)+n
左边=右边
把 (1^2+2^2+....+n^2)移到右边 化简得:
(n+1)^2-1=2(1+2+...+n)+n
即n^2+n=2(1+2+....+n)
所以得:1+2+.....+n=n(n+1)/2
所以前n个正整数的和的公式:n(n+1)/2
1,15+16+17+18+…+67=2137
2,1+2+3+4+…+2007. =2015028