对数的发明原理，及是什么情况下根据什么数学问题发明的，那个问题具体一点，以及是根据对数怎样解决的。
苏格兰数学家约翰·维尔纳独立发明了对数，并于1614年在出版的名著《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理。
16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，需要更为准确的天文知识，而天文学的研究中，需要大量烦琐的计算，特别是三角函数的连乘，苏格兰数学家约翰·维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式，即：
①sinα·sinβ=[cos(α-β)－cos(α+β)]/2 ,
②cosα·cosβ=[cos(α-β)＋cos(α+β)]/2 .
开普勒利用对数表简化了行星轨道的复杂计算，数学家拉普拉斯说：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍”。
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对数发明之前，人们对三角运算中将三角函数的积化为三角函数的和或差的方法已很熟悉。
从对数的发明过程我们可以发现，纳皮尔在讨论对数概念时，并没有使用指数与对数的互逆关系，造成这种状况的主要原因是当时还没有明确的指数概念，就连指数符号也是在20多年后的1637年才由法国数学家笛卡儿（R.Descartes，1596—1650）开始使用。
直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系。在1770年出版的一部著作中，欧拉首先使用来定义 ，他指出：“对数源于指数”。
参考资料来源：百度百科 -约翰·奈皮尔
参考资料来源：百度百科-对数
苏格兰数学家纳皮尔，在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数。16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，需要更为准确的天文知识，而天文学的研究中，需要大量烦琐的计算，特别是三角函数的连乘，天文学家们苦不堪言。
那时候天文学是热门学科。可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是一位天文爱好者，他感到，没有什么会比数学的演算更加令人烦恼。
经20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并于1614年出版的名著《奇妙的对数表的描述》，中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(NaplogX)。
1616年Briggs(亨利·布里格斯，1561–1630)去拜访Napier，建议将对数改良一下以10为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。
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对数的定义：一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
一般地，函数y=logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
参考资料：百度百科-对数
苏格兰数学家纳皮尔，在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.
16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易，需要更为准确的天文知识，而天文学的研究中，需要大量烦琐的计算，特别是三角函数的连乘，天文学家们苦不堪言。
德国数学家约翰·维尔纳首先推出了三角函数的积化和差公式，即
sinα·sinβ=[cos(α-β)－cos(α+β)]/2 ,
cosα·cosβ=[cos(α-β)＋cos(α+β)]/2 .
大大简化了三角函数连乘的计算。比如，计算sin67°34'×sin9°3'，可以从三角函数表查出sin67°34'=0.92432418，sin9°3'=0.15729632。但随后的乘法的计算十分烦琐，且容易出错。（请你不用计算器，手算一下0.92432418×0.15729632=？，记住还要验算一遍，以保证计算正确哦！）用维尔纳的三角函数积化和差公式，计算就大大简便了：
sin67°34'×sin9°3'
＝cos(67°34'-9°3')－cos(67°34'+9°3')
＝[cos(58°31')－cos(76°37')]/2
＝[0.52225052-0.23146492]/2
＝0.14539280
这个公式还可以用于把任何二个数的乘法计算转为加减法计算，方法如下：若求小于1的二个数a与b的乘积可以先由反三角函数表查得使a=sinα=a ,sinβ=b的α与β,然后计算(α-β)和(α+β)，再由三角函数表查得cos(α-β)与cos(α+β) ,最后应用上面的公式求出它们的一半,就得所要求的数。由于大于1的数可用小于1的数乘上10n 表示,因此上面的两个公式实际上对于任意两个数都是适宜的。
但这样做同样太繁杂了,况且还不能直接应用于除法、乘方和开方，因此,寻找更好的计算迫在眉睫。
2、对数产生的前奏
请你观察下面两个数列,并找出规律:
1, 2, 4, 8,16,32,64,128,256,512,1024,2048, 4096，8192，16384⋯⋯
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12， 13， 14⋯⋯
德国数学家Stifel (1487～1567)在观察上述两个数列时,称上排的数为 “原数”, 下排的数为“代表数” (德文Exponent) , Stifel发现,上一排数之间的乘、除运算结果与下一排数之间的加、减运算结果有一种对应关系。Stifel指出：“欲求上边任两数的积（商），只要先求出其下边代表数的和（差），然后再把这个和（差）对向上边的一个原数，则此原数即为所求之积（商）。”比如，计算16×1024，只要计算16的“代表数” 4、1024的“代表数” 10之和4+10=14，再查出与“代表数” 14相对应的“原数” 16384，就得到16×1024的乘积。实际上, Stifel已经掌握了对数运算法则，因为Stifel所谓的“代表数”,本质上是“原数”以2为底的对数。
说明：上一排原数可写为以2为底的指数函数,则数列对为：
20，
21，
22，
23，
24，
25，
26，
27，
28，
29，
210，
211，
212,
213
214
⋯⋯
0，
1，
2，
3，
4，
5，
6，
7，
8，
9，
10，
11，
12，
13
14
⋯⋯
则16×128实际上就是24×27＝24+7＝211＝2048。
此法可推广到任何二个数的乘除运算。比如计算17951235×0.08304115,设17951235＝aX, 0.08304115＝aY，则17951235×0.08304115＝aX ×aY＝aX+Y。
这里x是17951235的(以a为底的)对数，y是0.08304115的(以a为底的)对数。底a是可以任意指定的，我们指定a=10,则只要查表得到这二个数的常用对数(以10为底的对数称为常用对数) x=lg 17951235=7.2540943323和y=lg0.08304115＝-1.0807066451，计算x+y=6.1733876872，再查表得6.1733876872的(以10为底的)指数函数，106.1733876872＝1490691.1983就得到了17951235的乘积。
这就是后来的“对数简化运算”的方法。但由于当时没有分数指数的概念，人们还完全想不到这样的原理。Stifel尝试做任何两个数乘除时，遇到用数列不能解决的情况,他感到束手无策,他说:“这个问题太狭窄了,所以不值得研究”,只好“鸣金收兵”。
3、对数的发明
对数的概念，首先是由苏格兰数学家John Napier(纳皮尔，1550～1617)提出的。那时候天文学是热门学科。可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。Napier也是一位天文爱好者，他感到，“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍。”经20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并于1614年出版的名著《奇妙的对数表的描述》（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"），中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数(NaplogX)。这让他在数学史上被重重地记上一笔。1616年Briggs(亨利·布里格斯，1561–1630)去拜访Napier，建议将对数改良一下以10为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜Napier隔年于1617年春天去世，后来就由Briggs以毕生精力继承纳皮尔的未竟事业，他于1619年发表了《奇妙对数规则的结构》，于书中详细阐述了对数计算和造对数表的方法，1624年出版了《对数算术》一书，公布了以10为底的14位对数表，并称以10为底的对数为常用对数。
对数表这一惊人发明很快传遍了欧洲大陆。开普勒利用对数表简化了行星轨道的复杂计算。伽利略发出了豪言壮语：“给我时间、空间和对数，我可以创造出一个宇宙来。”数学家拉普拉斯说：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍”。对数表曾在几个世纪内为数学家、会计师、航海家和科学家广泛使用。今天，随着计算机的迅猛发展，对数表、计算尺就像过时的法律一样被废弃了，但对数与指数本身已成为数学的精髓部分，也是每一个中学生必学的内容。
嗯，，这个是由整数得出的规律，那指数是小数的又是怎样计算出来的呢，当时计算机又没有发明，对数是小数又是怎样算出来的呢
通过换底公式，
及和差：
把小数换成分数再变成整数：如log(0.8)2.5=log(4/5)5/2=(lg4-lg5)/(lg5-lg2).在当时，接着就可以查表了，至于表咋算出来的，作为一准高二学生，查资料后表示对其中提到的公式毫不知情...比如这是我在知道里看到的：“可以用泰勒公式展开成多项式函数逼近，大学数学有”
