Question

定义在在（0，+∞）上的函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(xy)

定义在在（0，+∞）上的函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(xy)，且当x＞1时，f(x)＜0,若对任意的x,y∈(0,+∞),不等式f(√(x²+y²))≦f(√xy)+f(a)恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

义在（0，+∞）上的函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(xy)
设0<x1<x2, x2/x1>1
∴f(x1)+f(x2/x1)=f(x2)
∴f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)
∵当x＞1时，f(x)＜0,
∴f(x2/x1)<0
即f(x2)-f(x1)<0,f(x1)<f(x2)
∴f(x)是(0,+∞)上的减函数
不等式f(√(x²+y²))≦f(√xy)+f(a)=f[a√(xy)] 恒成立
即√(x²+y²)≥a√(xy)恒成立
∴a≤√(x/y+y/x)恒成立

根据均值定理
x/y+y/x≥2√(x/y*y/x)=2
【当 x=y>0时取等号】
即√(x/y+y/x)的最小值为√2
∴a≤√2
实数a的取值范围是(-∞,√2]

追问

即f(x2)-f(x1)<0,f(x1)<f(x2) 这里好像写反了了呀！

追答

应该是f(x1)>f(x2)