Question

三角函数，求解！

(cosAcosB/2)/cos(A-B/2)+(cosBcosA/2)/cos(B-A/2)=1，求cosA+cosB

Answer 1

该题目比较繁琐，不过还是帮帮你吧
　　(cosAcosB/2)/cos(A-B/2)+(cosBcosA/2)/cos(B-A/2)=1
=>
(cosAcosB/2)/cos(A-B/2)=1-(cosBcosA/2)/cos(B-A/2)
=>
(cosAcosB/2)/cos(A-B/2)=[cos(B-A/2)-(cosBcosA/2)]/cos(B-A/2)
=>
(cosAcosB/2)/cos(A-B/2)=(sinBsinA/2)/cos(B-A/2)
=>
(cosAcosB/2)cos(B-A/2)=(sinBsinA/2)cos(A-B/2)
=>
(cosAcosB/2)(cosBcosA/2+sinBsinA/2)-(sinBsinA/2)(cosAcosB/2+sinAsinB/2)=0
=>
(cosAcosB/2)(cosBcosA/2+sinBsinA/2)-(sinBsinA/2)(cosAcosB/2+sinAsinB/2)=0
=>
cosAcosBcos(A/2)cos(B/2)-sinAsinBsin(A/2)sin(B/2)=0
=>
cosAcosBcos(A/2)cos(B/2)-4sin²(A/2)sin²(B/2)cos(A/2)cos(B/2)=0
=>
cos(A/2)cos(B/2)[cosAcosB-4sin²(A/2)sin²(B/2)]=0

由(cosAcosB/2)/cos(A-B/2)+(cosBcosA/2)/cos(B-A/2)=1知cos(A/2)=0、cos(B/2)=0不能同时成立，故只需进行如下讨论：
①若cos(A/2)=0，cos(B/2)≠0则 (cosAcosB/2)/cos(A-B/2)=1且 A/2=kπ+π/2
即[cos(2kπ+π)cosB/2)/cos(2kπ+π-B/2)=1
<=>[-cos(B/2)]/[-cos(B/2)]=1
<=>[-cos(B/2)]/[-cos(B/2)]=1
此时，cosA+cosB=2cos²(A/2)-1+cosB=cosB-1不确定
②若cos(A/2)≠0，cos(B/2)=0，同上cosA+cosB=cosA-1不确定
③若cos(A/2)cos(B/2)≠0则
cosAcosB-4sin²(A/2)sin²(B/2)=0
<=>
cosAcosB-[(1-cosA)(1-cosB)]=0
<=>
cosAcosB-(1-cosA-cosB+cosAcosB)=0
<=>
1-cosA-cosB=0
即
cosA+cosB=1

追问

谢谢，和我做的一致，我做这题时对结果不唯一不是很自信，因为不大见这类题。

追答

呵，是，稍微复杂点，应该加点条件简化问题，即便这样也不太好做，谢谢采纳，好运！

Answer 2

令A=B得 1=(cosAcosB/2)/cos(A-B/2)+(cosBcosA/2)/cos(B-A/2)= cosAcos(A/2)/cos(A/2)+(cosAcosA/2)/cos(A/2)
=cosA+cosA (注意cosA/2 !=0)

此时cosA+cosB=cosA+cosA=1
如果cosA+cosB的值存在，则A=B时计算的结果1就是这个值，否则cosA+cosB的值不存在

追问

请问这是什么原理？

追答

假设 cosA+cosB=M M是一个数值，

那么 A不论等于什么 算出来的结果都应该是M

上面相当于算出了 A=B时M=1 如果 另一个取值 比如A=1时 我们算出来的cosA+cosB不是1 说明 这个cosA+cosB本身可能就和A或者AB同时有关，就不是一个固定值，那么当然你用其他方法也计算不出来了

这是一个投机取巧的办法 有些时候比较快捷